(Limite de

Question

Ayudame con ese problema, por favor.

$$\lim_{x \to 0}\left ( \frac{1}{x^{2}}-\cot x\right )$$

Answer 1

$$ \lim\limits{x \to 0} \left (\frac {1} {x ^ 2}-\frac{1}{\tan x} \right) = \lim\limits{x \to 0}-\left (\frac{x^4 \tan x - x ^ 2 \tan^2 x} {x ^ 4 \tan^2 x} \right) = - \lim\limits_{x \to 0} \frac{(x^2\tan x) (x ^ 2-\tan x)} {(x ^ \tan 2 x) () x ^ \tan 2 x)} $

Cancelación de términos:

$$-\lim\limits_{x \to 0} \frac{x^2 - \tan x}{x^2 \tan x}$$

Aplicar la regla de L'Hopitals

$$-\lim\limits{x \to 0}\frac{x \cos2x + x - 1}{x(x+\sin 2x)} =-\frac{\lim\limits{x \to 0}x + \lim\limits{x \to 0}x \cos 2x - 1}{\lim\limits{x \to 0}x(x+\sin 2x)} =-\frac{-1}{\lim\limits_{x \to 0}x(x+\sin2x)}$$

El límite de los productos es el producto de los límites.

$$\frac{1}{\lim\limits{x \to 0}x(x+\sin2x)} = \frac{1}{(\lim\limits{x \to 0}x)(\lim\limits_{x \to 0}(x + \sin 2x))}$$

Desde $\lim\limits_{x \to 0}x = 0$,

$$\lim\limits_{x \to 0} = \left(\frac{1}{x^2} - \cot x\right) = \infty$$

Answer 2

$$\lim_{x\rightarrow 0} \left(\frac{1}{x^2}-\frac{\cos x}{\sin x}\right)=\infty,$$

pero

$$\lim_{x\rightarrow 0} \left(\frac{1}{x^2}-\frac{\cos^{2}x}{\sin^{2}x}\right)=\frac{2}{3}.$$

Answer 3

Tenga en cuenta que para $x>0$ cerca de $0$ hemos $$ \frac{1}{x^2} - \cot x = \frac{1}{x^2}-\frac{\cos x}{\sin x} \geq \frac{1}{x^2}-\frac{1}{\sin x} = \frac{\sin x - x^2}{x^2 \sin x}. $$

Entonces tenemos $$ \lim_{x\to 0^+}\frac{\sin x - x^2}{x^2 \sin x} \ \operatorname*{=}^{\small\mathrm{L'H}}\ \lim_{x\to 0^+} \frac{\cos x-2x}{2x\sen x + x^2\cos x } = \infty $$ por lo que se deduce por el teorema del sándwich que $$ \lim_{x\to 0^+}\left(\frac{1}{x^2} - \cot x \right) = \infty. $$

Para $x<0$ cerca de $0$ tenemos $\cot x < 0$ $$\frac{1}{x^2}-\cot x \geq \frac{1}{x^2} \to \infty$$ y así

$$ \lim_{x\to 0}\left(\frac{1}{x^2} - \cot x \right) = \infty. $$