¿Convergen este doble suma $\sum_{m=0}^\infty \sum_{n=0}^\infty \frac{m+n+mn}{2^m(2^m+2^n)}$?

Question

$$\sum_{m=0}^\infty \sum_{n=0}^\infty \frac{m+n+mn}{2^m(2^m+2^n)}$$ Yo no tengo experiencia en la evaluación de doble sumas de dinero, pero lo que la intuición que tengo sobre la única sumas me sugiere que esta serie deberían converger. Sin embargo, Mathematica no se pueda evaluar la suma y WolframAlpha me dice que la serie diverge.

Me pregunto si el promedio técnica utilizada aquí podría producir algo útil, pero yo no se si me estoy adaptando bien. Si $S$ denota mi suma, a continuación, $$2S=\sum_{m=0}^\infty\sum_{n=0}^\infty \frac{m+n+mn}{2^{m+n}}$$ que me han dicho que también diverge. No creo que este método de trabajo, ya que no puede dividir el numerador en un producto $a_mb_n$.

Answer 1

$$\begin{align} \sum{m=0}^\infty\sum{n=0}^\infty\frac{m+n+mn}{2^{m+n}} &=\sum{m=0}^\infty\sum{n=0}^\infty\frac{(m+1)(n+1)}{2^{m+n}} -\sum{m=0}^\infty\sum{n=0}^\infty\frac1{2^{m+n}}\ &=\left(\sum{n=0}^\infty\frac{n+1}{2^n}\right)^2 -\left(\sum{n=0}^\infty\frac1{2^n}\right)^2\[6pt] &=12 \end {Alinee el} $$

Answer 2

El inicial de la serie es convergente: puede considerar sumas parciales para manipular términos como usted lo hizo, y desde $$\displaystyle n+m+mn\leq 3(m+1)(n+1), \quad n\geq0,\,m\geq0,$ $ obtener $$ 0

Answer 3

No estoy seguro si su objetivo es evaluar específicamente la suma doble o solo mostrando converge (por su intuición), pero podemos mostrar que la suma converge como sigue:

\begin{align} \sum{m=0}^\infty\sum{n=0}^\infty\frac{m+n+mn}{2^m(2^m+2^n)}&\leq\sum{m=0}^\infty\left[\frac{1}{2^m}\sum{n=0}^\infty\frac{m+n+mn}{2^n}\right]\ &\leq\sum_{m=0}^\infty\left[\frac{m}{2^{m-1}}+\frac{C}{2^m}+\frac{mC}{2^m}\right], \end {Alinee el}

donde $C$ denota la suma convergente $\sum_{n=1}^\infty n/2^n$. La derecha se evalúa fácilmente para dar un número finito, por lo tanto converge la suma original.

Answer 4

Bajo el supuesto de que no convergen, puede cambiar la numeración de la serie. Imagina un $nm$ plano, y muestra los puntos en diagonal. En otras palabras, decir $k=m+n$ y escribir

$$2S=\sum_{k=0}^\infty\frac{1}{2^k} \sum_{n=0}^k (k+kn-n^2)$$ $$=\sum_{k=0}^\infty\frac{1}{2^k} \left(k(k+1)+k\frac{k(k+1)}{2}-\frac{k(k+1) (2k+1)}{6}\right)$$ $$=\frac16\sum_{k=0}^\infty\frac{1}{2^k} k(k+1)(k+5)$$ Esta es una serie convergente: polinomio veces una progresión geométrica tiene el mismo radio de convergencia de la serie geométrica (para 1/2 en este caso) y pueden ser evaluados tomando la derivada de la función de generación de $\frac{1}{1-x}=\sum_{k=0}^\infty x^k$ y, a continuación, configuración de $x=1/2$.

Answer 5

ps