Muestran que

Question

Muestre que$f^{-1}(A\cup B) = f^{-1}(A)\cup f^{-1}(B)$ pero no necesariamente

$f^{-1}(A\cap B)=f^{-1}(A)\cap f^{-1}(B)$.

Dejar $S=A\cup B$

Sé que$f^{-1}(S)=\{x:f(x)\in S\}$, suponiendo que ese$f$ es uno a uno. Es esto cierto $\{x:f(x)\in S\}=\{x:f(x) \in A\}\cup\{x:f(x)\in B\}$?

¿Por qué no funciona la intersección?

Fuentes: ♦ 2nd Ed,$\;$ P219 9.60 (d),$\;$ Mathematical Proofs por Gary Chartrand,
♦ P214,$\;$ Teorema 12.4. # 4,$\;$ Libro de prueba de Richard Hammack,
♦ P257-258,$\;$ Teorema 5.4.2. # 2 (b),$\;$ Cómo probarlo por D Velleman.

Answer 1

Tu ejercicio es incorrecto

ps

Procederá de manera similar para mostrar que$$\begin{align}f^{-1}[A\cap B] &:= \{x\in\text{dom}(f):f(x)\in A\cap B\}\\ &= \{x\in\text{dom}(f):f(x)\in A\text{ and }f(x)\in B\}\\ &= \{x\in\text{dom}(f):f(x)\in A\}\cap\{x\in\text{dom}(f):f(x)\in B\}\\ &=: f^{-1}[A]\cap f^{-1}[B].\end{align}$ trading "y" for "or".

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Por otro lado, aunque tenemos$f^{-1}[A\cup B] = f^{-1}[A]\cup f^{-1}[B],$ y$f[A\cup B]=f[A]\cup f[B]$, generalmente no tenemos igualdad en el último caso, a menos que$f[A\cap B]\subseteq f[A]\cap f[B],$ sea uno a uno. Elija cualquier función constante en su conjunto favorito de dos o más elementos, luego elija dos subconjuntos disjuntos$f$ y$A$ para un ejemplo donde la inclusión sea estricta.