Deducción de las tasas de crecimiento de la inestabilidad a partir del Hamiltoniano para la ecuación no lineal de Schrödinger

Question

Consideremos la siguiente ecuación no lineal de Schrödinger (NLSE): $$A_t+iA_{xx}+i|A|^2A = 0, \tag{1}$$ donde $A$ es una función de valor complejo de $(x,t)$ .

Una solución a esta ecuación es $$A=a_oe^{-ia_o^2t}.\tag{2}$$ Investigamos la estabilidad de estas soluciones considerando una perturbación a la solución anterior de la forma $$a_oe^{-it} (1+\alpha_+e^{i(kx-\Omega t)}+\alpha_-e^{-i(kx-\Omega t)})\tag{3},$$ para las constantes $(\alpha_+,\alpha_-, k,\Omega).$

Volviendo a poner esto en la NLSE y recogiendo términos de orden $\alpha_{\pm}$ encontramos un sistema de ecuaciones $$ \left( \begin{array}{cc} a_o^2-k^2-\Omega & a_o^2 \\ a_o^2 & a_o^2-k^2+\Omega \end{array} \right) \left( \begin{array}{c} \alpha_+ \\ \alpha_- \end{array} \right) = 0.\tag{4}$$

Esto tiene solución no trivial cuando el determinante de la matriz es cero, que es la condición que $$\Omega^2 = k^2(k^2-2a_o^2) \tag{5},$$ que toma valores imaginarios (es decir, conduce a un crecimiento inestable) cuando $$k < \sqrt{2} a_o.\tag{6}$$ (Nota: La forma en que el problema ha sido adimensionalizado, todos los parámetros (por ejemplo $k,a_o$ ) no tienen unidad). Esto tiene una tasa de crecimiento máxima $$\mathrm{Im}(\Omega_*) = a_o^2\tag{7}$$ para $k_* = a_o$ .

Ahora bien, esto equivale a la llamada inestabilidad de Benjamin-Feir (o de la modulación) inherente a diversos sistemas físicos (por ejemplo, las ondas de agua, los láseres). A continuación, recordemos que la NLSE puede derivarse de una densidad hamiltoniana ${\cal H}$ , donde $${\cal H} = |A_x|^2 - \frac{1}{2} |A|^4,\tag{8}$$ y las ecuaciones de Hamilton toman la forma $$i\frac{\partial A}{\partial t} = \frac{\delta {\cal H}}{\delta A^{\ast}}\tag{9}$$ y el complejo conjugado de éste.

Mi pregunta es, ¿hay algo en la estructura de este Hamiltoniano que pueda darnos los resultados del análisis de estabilidad espectral de una manera diferente ? Ingenuamente, quiero saber si puedo deducir los criterios de inestabilidad y la tasa de crecimiento directamente de la estructura del Hamiltoniano.

Conozco vagamente ciertos criterios de estabilidad utilizados en el estudio de la estabilidad de los sistemas hamiltonianos (por ejemplo, las firmas de Krein, etc.), pero no estoy familiarizado con su funcionamiento en la práctica (y, en particular, en este ejemplo relativamente sencillo) y agradecería mucho cualquier consejo, o referencias a recursos relevantes.

Answer 1

I) La densidad hamiltoniana para el NLSE lee

$$ {\cal H}_{NLSE}~=~|A_x|^2 - \frac{1}{2} |A|^4, \tag{A}$$

donde nos interesa el caso con un signo inestable delante del término cuático. La densidad del lagrangiano hamiltoniano es

$$ {\cal L}_H~=~i A^{\ast} \dot{A} -{\cal H}_{NLSE},\tag{B}$$

Véase, por ejemplo este Puesto de Phys.SE.

II) Sustituyamos

$$A \quad\longrightarrow\quad (a_0\!+\!A)e^{i(k_0x-\omega_0t)}, \qquad \omega_0~:=~k_0^2-a_0^2,\qquad a_0~>~0,\tag{C}$$

ya que nos interesa el Benjamin-Feir modulador inestabilidad alrededor de una onda portadora $a_0e^{i(k_0x-\omega_0t)}$ y la nueva variable $A$ es una perturbación $|A| \ll a_0 $ .

La densidad lagrangiana hamiltoniana (B) se convierte en

$$ {\cal L}_H~=~(A^{\ast}\!+\!a_0) \left\{\omega_0(A\!+\!a_0)\!+\!i \dot{A}\right\} -\left|A_x+ik_0(A\!+\!a_0)\right|^2 +\frac{1}{2} |A\!+\!a_0|^4 ~\sim~i A^{\ast} \dot{A} -{\cal H}.\tag{D}$$

Tras descartar los términos de la derivada total, la densidad hamiltoniana modificada es la siguiente

$${\cal H}~=~\underbrace{(k_0^2-\omega_0)}_{=a_0^2}|A\!+\!a_0|^2 + ik_0\left\{A^{\ast}_x A - A_x A^{\ast}\right\} + |A_x|^2 - \frac{1}{2} |A\!+\!a_0|^4 $$ $$ ~\stackrel{k_0=0}{=}~\frac{1}{2} |a_0|^4 + |A_x|^2 - \frac{a_0^2}{2} (A\!+\!A^{\ast})^2 + {\cal O}(|A|^3). \tag{E}$$ En la última igualdad, nos especializamos en el caso de OP $k_0=0$ . Tenga en cuenta que $\omega_0=-a_0^2 <0$ es entonces negativo.

III) Mencionemos para completar que el término cuadrático $H_2$ en el Hamiltoniano modificado $$ H~=~\int \! \mathrm{d}x ~{\cal H}~=~H_0 +H_1 +H_2 + {\cal O}(|A|^3) \tag{F}$$

lee

$$H_2~=~$$ $$ - \frac{1}{2}\iint \! \mathrm{d}x ~\mathrm{d}y ~ \overline{\begin{pmatrix} A(x) & A(x)^{\ast}\end{pmatrix}} \begin{pmatrix} (\partial_x^2 + a_0^2) \delta(x\!-\!y) & a_0^2 \delta(x\!-\!y) \cr a_0^2 \delta(x\!-\!y) & (\partial_x^2 + a_0^2) \delta(x\!-\!y) \end{pmatrix} \begin{pmatrix} A(y) \cr A(y)^{\ast}\end{pmatrix} A(x).\tag{G}$$

IV) La ecuación de Hamilton dice

$$ i \dot{A}~=~\frac{\delta H}{\delta A^{\ast}} ~\stackrel{(E)}{=}~-A_{xx} -\left\{|A\!+\!a_0|^2-a_0^2 \right\} (A\!+\!a_0) ~=~-A_{xx} - a_0^2(A\!+\!A^{\ast}) + {\cal O}(|A|^2) . \tag{H} $$

Tenga en cuenta que debido a la $A \leftrightarrow A^{\ast}$ mezclando tenemos que incluir al menos 2 modos:

$$ A ~=~ \sum_{\pm} \epsilon_{\pm} e^{\pm i(kx-\omega t)}. \tag{I}$$

La ecuación de Hamilton linealizada (H) dice

$$ \begin{pmatrix} \omega -k^2 +a_0^2 & a_0^2 \cr a_0^2 & -\omega -k^2 +a_0^2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \epsilon_+ \cr \epsilon_-\end{pmatrix} ~\stackrel{(H)+(I)}{=}~0, \tag{J}$$

lo que lleva a la ecuación de la OP

$$\omega^2 ~=~ k^2(k^2- 2a_0^2),\tag{K} $$ y el criterio de OP

$$|k|~<~ \sqrt{2}a_0\tag{L} $$ para la inestabilidad.

V) Si insertamos

$$ A ~=~ \epsilon \cos(kx) \tag{M}$$

en el Hamiltoniano cuadrático

$$ H_2~\stackrel{(E)+(M)}{=}~\epsilon^2 \int \! \mathrm{d}x ~\left\{ k^2 \sin^2(kx) - 2 a_0^2 \cos^2(kx)\right\}, \tag{N}$$

se puede argumentar que es inestable si se cumple la desigualdad (L).

Answer 2

El signo de su término de interacción es erróneo. La energía no está limitada desde abajo. No se puede minimizar la energía para encontrar el estado más estable. La energía se minimiza por $|A| \to \infty$ .

Si se cambia el signo del término no lineal en su ecuación se obtiene un problema linealizado similar aunque con la sustitución $a_o^2 \to -a_o^2$ . Entonces sus frecuencias son reales y su menor energía posible es cero.

Según sé, este es un modelo para bosones con repulsivo interacciones . Allí, cuando la densidad crece, los bosones interactúan más fuertemente y se repelen. Esto, a su vez, disminuye la densidad de nuevo. En tu caso tienes atractivo interacciones. Si se aumenta la densidad, se acercan las partículas entre sí y se facilita su interacción. La densidad crece aún más. Se produce una inestabilidad.