Espacios cociente y equivariante

Question

Considere la posibilidad de una $G$-equivariant mapa de $\pi:X\to Y$ $G$ un afín algebraica de grupo, de tal manera que $\pi$ es un buen categórica cociente. Hay alguna relación entre la $H^*_G(X)$$H^*(Y)$? Es ahí si $\pi$ es un buen geométricas cociente, o si el espacio cociente es suave?

EDIT: UNA categórica cociente es un equivariant mapa de $\pi:X\to Y$ que es constante en $G$de las órbitas. Es bueno si la topología en $Y$ es inducida por $X$ ($\pi$ es un surjective abrir inmersión) y el mapa de las funciones en cualquier afín $V \subset Y$ $G$- funciones invariantes en $\pi^{-1}(V)$ es un isomorfismo. Es una buena geométricas cociente si el $G$de las órbitas cerradas en $Y$.

Answer 1

No sé qué buen cociente categorial es, pero si $X$ es un complejo de CW, y la acción de $G$ es gratis y celulares, entonces $H^_G(X)\cong H^(X/G)$. Ver «Cohomología de grupos» Brown p.173.