Probar

Question

Además, a mi entender, Lo que hace que una prueba, estoy haciendo ejercicios.

El propósito de esta pregunta es comparar la prueba de un determinado libro de texto proporciona con el uno que es lógico para mí, que he hecho. Si mi prueba es débil, ¿por qué es débil? ¿Por qué es la prueba de que el libro aceptable (que no encuentra una manera de involucrar a $\lim_{h \to 0}$ :)...

Sin más preámbulos la pregunta: Demostrar

$D_x(\int_a^x f(t)dt) = f(x)$

Mi prueba es esta:

Deje $\int f(t)dt = F(t)$

A continuación, $D_x( \int_a^x{f(t)dt} ) = D_x( \left[ F(t) \right]_a^x )$

$= D_x( F(x) - F(a) )$

Pero puesto que F(a) es constante con respecto a x, se va a 0, cuando se derivan:

$= F'(x) $

$= f(x) $

Es muy bueno? Si no, específicamente lo que está mal con él? Sé que las pruebas tienen que ver con "su público", pero muchas de las pruebas son escritas en lenguaje ensamblador, son de un nivel tan bajo!

• La prueba en el libro que estoy utilizando dice

Deje $h(x) = \int_a^x{f(t)dt}$

Entonces:

$h(x + \Delta x) - h(x) = \int_a^{x+\Delta x}{f(t)dt} - \int_a^x{f(t)dt}$

$= \int_a^x{f(t)dt} + \int_x^{x+\Delta x}{f(t)dt} - \int_a^x{f(t)dt}$

$= \int_x^{x+\Delta x}{f(t)dt}$

$= \Delta x (f(x*))$ para algunos x* entre x y x + $\Delta$ x por el valor medio teorema para las integrales

Por lo tanto, dividiendo ambos lados por $\Delta x$:

$\frac{h(x + \Delta x) - h(x)}{\Delta x} = f(x*)$

Por lo tanto, $D_x(\int_a^x f(t)dt) = D_x(h(x))$

$= \lim_{\Delta x \to 0} \frac{h(x + \Delta x) - h(x)}{\Delta x} $

$= \lim_{\Delta x \to 0} f(x*) $

Pero como $\Delta x \to 0$, $x + \Delta x \to x$ por lo $x* \to x$ (desde $x*$ entre $x$$x + \Delta x$). Puesto que f es continua, $\lim_{x \to 0} f(x*) = f(x)$

Answer 1

La primera línea tiene un grave problema: $\int f(t)dt$ no es una función de $t$; la integral indefinida es una familia de funciones, no de una sola función. Así diciendo "Vamos a $\int f(t)dt= F(t)$" no tiene sentido. Tan pronto como usted trata de empezar, ya estás en problemas.

Ahora, usted puede decir, "bueno, recoger algunos antiderivada en lugar de llevar a toda la familia." Pero si se intenta definir $F$ "recoger algunas antiderivada de $f$", entonces su problema es que usted no tiene forma de garantizar que no es tal cosa en el primer lugar! El punto de este resultado es muestra de que no es una antiderivada, así que usted no puede asumir que hay uno para empezar.

Por supuesto, si usted asume el Primer Teorema Fundamental del Cálculo y que $f(t)$ tiene una antiderivada, a continuación, este resultado es muy sencillo, exactamente como hacerlo: $\int_a^x f(t)dt = F(x)-F(a)$, por lo que la derivada con respecto al $x$$F'(x)=f(x)$. Pero esto supone que no es una antiderivada de $f$, y que el FTC (Parte 1) sostiene; pero a partir de este teorema se utiliza a menudo para probar la Parte 1, que también podría hacer su argumento circular.

Pero, realmente, el mayor defecto es que usted está asumiendo que no es una antiderivada de $f$ en el primer lugar (se puede demostrar de la FTC (Parte 1) sin este resultado, por lo que el problema de la circularidad no es fatal).

Answer 2

El integral es a priori definido como el área bajo una curva (suponiendo que la integral de Riemann-Stieltjes). Por lo tanto, no debe asumir que es la anti derivada de una función, que es $\int f dx $ tiene nada que ver con $\int_a^b f dx$ la primera expresión significa la derivada, la segunda significa área bajo una curva.

La prueba se supone que da una conexión entre dos nociones, primitiva y área bajo la gráfica.