Soluciones irracionales a algunas ecuaciones en dos variables

Question

La siguiente instrucción es una conjetura mía, así que no sé si es cierto (aunque seguro):

Que $x,y$ ser irracional números tal que $x^4+y^4=1$. Probar (o refutar) que $x^5+y^5$ es irracional o $x^6+y^6$ es irracional (o ambos son irracionales).

Edit: para quitar cualquier duda, mi sentido es demostrar al menos uno de lo números $x^5+y^5$ y $x^6+y^6$ tiene que ser irracional.

Answer 1

Resulta que $K(x^4+y^4,x^5+y^5,x^6+y^6) = K(x+y,xy)$.

Dejando $a = x^4+y^4, b = x^5+y^5, c = x^6+y^6$, tenemos las identidades

$$x+y= - \frac{4c^{6}b-10c^{4}ba^{3}+80c^{3}b^{3}a^{2}-100c^{2}b^{5}a+14c^{2}ba^{6}+16cb^{7}-68cb^{3}a^{5}+70b^{5}a^{4}-6ba^{9}}{2c^{6}a-4c^{5}b^{2}-5c^{4}a^{4}+70c^{3}b^{2}a^{3}-170c^{2}b^{4}a^{2}+c^{2}a^{7}+128cb^{6}a+28cb^{2}a^{6}-16b^{8}-37b^{4}a^{5}+3a^{10}} \\ xy = - \frac{-6c^{6}a+12c^{5}b^{2}+5c^{4}a^{4}-50c^{3}b^{2}a^{3}+90c^{2}b^{4}a^{2}-5c^{2}a^{7}-64cb^{6}a+8b^{8}+9b^{4}a^{5}+a^{10}}{-8c^{5}a^{2}+40c^{4}b^{2}a-40c^{3}b^{4}+8c^{3}a^{5}-60c^{2}b^{2}a^{4}+100cb^{4}a^{3}-4ca^{8}-32b^{6}a^{2}-4b^{2}a^{7}} $$

Por lo $a,b,c$ son racionales si y sólo si $x+y$ $xy$ son racionales. A continuación, $x,y$ son irracionales siempre $(x-y)^2 = (x+y)^2-4xy$ no es un racional plaza (e $x,y$ será de una ecuación cuadrática de la extensión de $\Bbb Q$)

Desde $x^4+y^4 = (x+y)^4 - 4(x+y)^2xy + 2x^2y^2$, para obtener un contra-ejemplo queremos encontrar puntos racionales de la curva de $1 = s^4-4s^2p+2p^2$, que es una curva elíptica.

Tenemos los evidentes puntos de $s= \pm 1,p=0$, lo que da racional $x,y$.

También tenemos las soluciones $s = \pm 1, p =2$. Esto le da contador ejemplos de $x,y = \frac{1\pm \sqrt{-7}}2$ dar $a=1,b=11,c=9$ ; y $x,y = \frac{-1\pm \sqrt{-7}}2$ dar $a=1,b=-11,c=9$

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Hay un racional parametrización de envío de la curva de la curva de $E : y^2 = x^3- x$, y se sabe que $E(\Bbb Q) = (\Bbb Z/2\Bbb Z)^2$. El $4$ puntos que he dado son por lo tanto la única $4$ puntos racionales, de modo que no hay ninguna verdadera contra-ejemplo.

Sin embargo, si usted permite reemplazar $\Bbb Q$ con algunos cuadrática extensión de $K$$\Bbb Q$, usted puede encontrar fácilmente algunos de real contra-ejemplo a la declaración más general, simplemente mediante la selección de algunas pequeñas $s$ cerca de $\pm 1$ y luego resolver para $p$ y la elección de la solución a $0$ (en realidad de la región de la curva en la $s^2 > 4p$ es bastante pequeña). La mayoría de los $(s,p )$ debe corresponder a las parejas de $(x,y)$ mintiendo a su vez en una ecuación cuadrática de la extensión de $K$.