Ejercicio: Continuidad y delimitación local

Question

Considerar la función $f:\mathbb{R}^n \setminus \{0\} \times \mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}_{> 0}$ es decir:

• continua en el primer argumento;

• localmente acotada en el segundo argumento.

Consideremos una secuencia $\{x_i\}_{i=1}^{\infty}$ tal que $x_i \in \mathbb{R}^n$ , $x_i \rightarrow x$ .

Demostrar que

$$ \limsup_{i \rightarrow \infty} \ f(x,x_i) - f(x_i,x_i) \ = \ 0. $$

Answer 1

Creo que lo siguiente es un contraejemplo.

Para simplificar las cosas $n=1$ . Consideremos la secuencia $x_n = 1-\frac{1}{2^n}$ . Esta secuencia converge a $x=1$ . Defina ahora una función $f:\mathbb{R}\setminus\lbrace0\rbrace\times\mathbb{R}\to\mathbb R_{>0}$ como sigue: $$f(t,y):=\begin{cases}1&&\textrm{if }y\geq1\\1 && \textrm{if }t\leq y<1\\1+\frac{t-x_n}{x-x_n}&&\textrm{if }y<t<1\\2&&\textrm{if }y<1\leq t\end{cases}$$ Esta función está acotada (toma valores entre $1$ y $2$ ), por lo que también está acotada localmente en el segundo argumento. También es continua en el primer argumento, ya que es lineal a trozos para cada valor fijo de $y$ y los valores límite (o límites) coinciden.

Pero.., $f(x,x_n)-f(x_n,x_n)=2-1=1$ para cada $n\in\mathbb{N}$ Así que $\lim_{n\to\infty}(f(x,x_n)-f(x_n,x_n))=1$ lo que significa $\limsup$ también es igual a $1\neq0$ .

En caso de que quiera un contraejemplo para $n\in\mathbb{N}$ una construcción similar debería funcionar. La cuestión aquí es que se puede definir una función continua $f_y:\mathbb{R}^n\setminus\lbrace0\rbrace\to\mathbb{R}_{>0}$ de forma bastante independiente para cada $y\in\mathbb R^n$ y luego simplemente juntarlos por $f(t,y) = f_y(t)$ siempre que te asegures de que están suficientemente acotados. Esta independencia puede permitir comportamientos bastante salvajes.