Dejemos que $f(x)$ sea una función completamente monótona sobre $x>0$ es decir $f(x) \in C^{\infty}(0,+\infty)$ y para cualquier $n \geqslant 0$ tenemos $$ (-1)^n \frac{\mathsf d^n f(x)}{\mathsf dx^n} \geqslant 0, \tag{1} $$ y que $f(0) = f(+0) = 1$ pero $f(x) \not\equiv 1$ . ¿Es posible que $f(x^{\alpha})$ también es completamente monótona para algunos $\alpha>0$ , $\alpha \neq 1$ ?
Podemos comprobar las desigualdades $(1)$ para $f(x^{\alpha})$ pero en este caso obtendremos un sistema infinito de desigualdades diferenciales que parece irresoluble. La otra forma es utilizar el teorema de Bernstein sobre funciones monótonas que dice que si $f(x)$ es completamente monótona entonces existe una medida Borel no negativa $\mu$ en $[0,+\infty)$ , $\mu[0,+\infty) = f(+0)$ y tal que $$ f(x) = \int\limits_{0}^{\infty} e^{-xy} \, \mathsf d \mu(y). \tag{2} $$ Si $f(x^{\alpha})$ es también completamente monótona entonces existe alguna medida $\nu(x)$ tal que $$ f(x^{\alpha}) = \int\limits_{0}^{\infty} e^{-xy} \, \mathsf d \nu(y). \tag{3} $$ Desde $(2)$ y $(3)$ se deduce que $$ \int\limits_{0}^{\infty} e^{-x^{\alpha} y} \, \mathsf d \mu(y) = \int\limits_{0}^{\infty} e^{-x y} \, \mathsf d \nu(y). $$ y sin pérdida de generalidad $\alpha > 1$ (si no, podemos introducir $\tilde{\alpha} = \alpha^{-1}$ y $\tilde{x} = x^{\alpha}$ ). En el lado derecho tenemos una función completamente monótona. Entonces en el lado izquierdo la función es también completamente monótona y en virtud del teorema de Bernstein satisface $(1)$ . Tomemos las derivadas hasta el segundo orden y escribamos las desigualdades $(1)$ : $$ -\alpha \int\limits_{0}^{\infty} x^{\alpha-1} y e^{-x^{\alpha}y} \, \mathsf d\mu(y) \leqslant 0, - \,\text{it is always true} \\ -\alpha x^{\alpha-2} \int\limits_{0}^{\infty} y \left( \alpha-1 - \alpha yx^{\alpha} \right) e^{-x^{\alpha}y} \, \mathsf d\mu(y) \geqslant 0. $$ Dividamos la última desigualdad por $-\alpha x^{\alpha-2}$ y reescribirlo como $$ (\alpha-1) \int\limits_{0}^{\infty} y e^{-x^{\alpha} y} \, \mathsf d \mu(y) \leqslant \alpha x^{\alpha} \int\limits_{0}^{\infty} y^2 e^{-x^{\alpha} y} \, \mathsf d \mu(y). $$ Si $y^2$ es integrable con respecto a $\mu$ entonces podemos pasar al límite $x \to +0$ para obtener la contradicción: a la izquierda obtendremos un número positivo mientras que a la derecha será cero. Para clases más generales de medida $\mu$ que representa una función completamente monótona $f$ esta prueba del hecho de que $f(x)$ y $f(x^{\alpha})$ no pueden ser ambas funciones no constantes completamente monótonas no funciona.
