Una simple consulta aritmética modular.

Question

Dado $a,b,c\in\Bbb N$ con $\mathsf{gcd}(a,b)=\mathsf{gcd}(b,c)=\mathsf{gcd}(c,a)=1$ sabemos que hay $m_1,m_2,m_3\in\Bbb N$ tal que $a\equiv m_1a^2\bmod abc$ , $ab\equiv m_2ab\bmod abc$ y $b\equiv m_3b^2\bmod abc$ se mantiene.

También es fácil ver que hay un único $m$ tal que $$a\equiv ma\bmod ab,\quad b\equiv mb\bmod ab$$ se mantiene.

Sin embargo, ¿cómo encontrar un $m$ coprima a $c$ tal que $$1\equiv ma\bmod abc,\quad 1\equiv mb\bmod abc$$ ¿tiene?

Al menos cómo encontrar un $m$ tal que $$\ell_1 a\equiv ma^2\bmod abc, \quad \ell_2 ab\equiv mab\bmod abc,\quad\ell_3b\equiv mb^2\bmod abc$$ se mantiene donde $0<\ell_1,\ell_2,\ell_3<\log abc$ se mantiene y al menos uno de $\ell_1,\ell_2,\ell_3$ ¿es distinto?

Si no es así, ¿qué tan pequeño podemos hacer $\max(\ell_1,\ell_2,\ell_3)$ donde $a\nmid\ell_1$ y $b\nmid\ell_3$ ¿tiene?

Answer 1

Voy a responder a una de sus preguntas ...

Usted pregunta cómo encontrar un $m$ tal que

\begin {align*} 1 & \equiv ma \text { mod } (abc) \\ 1 & \equiv mb \text { mod } (abc) \\ \end {align*}

Pero

\begin {align*} &1 \equiv ma \text { mod } (abc) \\ \implies\ ; &1 \equiv ma \text { mod } (a) \\ \implies\ ; &1 \equiv 0 \text { mod } (a) \\ \implies\ ; &a = 1 \\ \end {align*}

Asimismo,

\begin {align*} &1 \equiv mb \text { mod } (abc) \\ \implies\ ; &1 \equiv mb \text { mod } (b) \\ \implies\ ; &1 \equiv 0 \text { mod } (b) \\ \implies\ ; &b = 1 \\ \end {align*}

Por lo tanto, a menos que $a = b = 1$ No habrá tal $m$ .

Answer 2

Al menos cómo encontrar un $m$ tal que $$\ell_1 a\equiv ma^2\bmod abc, \quad \ell_2 ab\equiv mab\bmod abc,\quad\ell_3b\equiv mb^2\bmod abc$$ se mantiene donde $0<\ell_1,\ell_2,\ell_3<\log abc$ ¿tiene?

En primer lugar, hay que tener en cuenta que $gcd(ma^2,abc)=a, gcd(ma^2,a\ell_1)=a$ . Esto es un resultado directo de $\gcd(a,r)=a \iff \gcd(a,b)=a$ en $a \equiv r \pmod b$

Entonces reescribe $ma^2 \equiv \ell_1 \pmod{abc}$ como:

$ma^2 = abck + a\ell_1$

$ma = bck + \ell_1$

Entonces $ma \equiv \ell_1 \pmod{bc}$

Es fácil seguir esta simplificación para obtener las otras.

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Se puede simplificar como:

$$\ell_1 \equiv ma \pmod{bc}, \quad \ell_2 \equiv m \pmod c, \quad \ell_3 \equiv mb \pmod{ac}$$

Ahora elige un valor $r \in (0,\log abc)$

Tenga en cuenta que si $m<c$ entonces $m=r$ y $\ell_1=\ell_2=\ell_3=r$

Cuando $c \mid m$ entonces $\ell_1=\ell_2=\ell_3=0$

Cuando $m>c \Rightarrow$ $m=ck+r, a=b$ entonces $\ell_1=\ell_2=\ell_3=r$ y tendrás:

$$a\ell_1 \equiv ma \pmod{ac}, \quad \ell_2 \equiv m \pmod c, \quad b\ell_3 \equiv mb \pmod{bc}$$

Para $m>c$ entonces $\ell_1\neq\ell_2\neq\ell_3 \iff a,b,c$ son coprimas entre sí, por lo que la solución debe seguir estas restricciones:

$$\ell_1 < bc < \log abc$$

$$\ell_2 < c < \log abc$$

$$\ell_3 < ac < \log abc$$