Demostrando que $\lim\limits_{n \to \infty} \frac{E_{n+1}}{E_n}=2^{-2/3}$

Question

$$\def\ut#1{\underline{\text{#1}}}\def\vec#1{\mathbf{#1}} \def \d{\mathrm{d}} \def \p{\partial } \def [{\left[} \def ]{\right]} \def ({\left(} \def ){\right)} \def \n{\boldsymbol{ \nabla}} \def\ut#1{\underline{\text{#1}}}\def\vec#1{\mathbf{#1}} \def\o#1{\operatorname{#1}} \def {{\left{} \def }{\right}} \def\oiint{\bigcirc\kern-1.4em\iint} $$

Tengo una función $f(x)=x^3-4$, que estoy resolviendo ($f=0$) utilizando el método de Newton-Raphson.

Que $p$ ser la exacta solución a esta ecuación ($\sqrt[3]4$) y que $En=|p-p{n}|$ y, del mismo modo, $E{n+1}=|p-p{n+1}|$.

Pregunta:

Cómo demuestro que %#% $ #%

$$\lim\limits{n \to \infty} \frac{E{n+1}}{E_n}=2^{-2/3} \quad ?$

Del método de Newton, tenemos %#% $ #%

Por lo tanto, $\ut{My working}$ $

Por lo tanto, $$\begin{align} p_{n+1}&=p_n-\frac{p_n^3-4}{3p_n^2} \ \ \&=\frac{2p_n^3+4}{3p_n^2} \quad \end{align}$ $

Pero, entonces, ¿cómo se evaluar el límite de $$E_n=\left| p-pn\right|, \ \ \\begin{align} E{n+1}&=\left|p-p_{n+1}\right| \ \ \&=\left| p-\frac{2p_n^3+4}{3p_n^2}\right| \ \ \&=\left|\frac{3pp_n^2-2p_n^3-4}{3p_n^2} \right| \quad .\end{align}$?

Answer 1

$$\frac{3pp_n^2-2p_n^3-4}{3pp_n^2-3p_n^3}=\frac{3pp_n^2-2p_n^3-p^3}{3pp_n^2-3p_n^3}\ = \frac{(p_n-p)(p^2+pp_n-2p_n^2)}{3p_n^2(p-pn)} $$
Creo que falta $E{n+1}/E_n^2$ porque el método de Newton tiende a duplicar el número de precisión de dígitos.