Convenios sobre derivadas parciales

Question

Mira esta expresión: $$\frac{\partial}{\partial t} (V-\mathbf{v}\cdot\mathbf{A}).$$ Esta expresión se produce en Griffiths EM libro (4ª ed, p.444). $V=V(\mathbf{r},t)$es el potencial escalar, $\mathbf{A} = \mathbf{A}(\mathbf{r},t)$ es el vector potencial, y $\mathbf{v} = \mathbf{v}(t)$ es la velocidad de la partícula en el contexto.

Después de esta expresión, el autor señala que el operador de la derivada de no actuar en $\mathbf{v}$. Ahora, él, por que, solo me avisa de que falta la convención estándar en cómo derivados de los actos de símbolo? o, ¿quiere decir que él es sólo desviarse de la convención en esta expresión, con el fin de hacer muy bien buscando?

Answer 1

La expresión proporcionada en la pregunta es,

$$\frac{\partial}{\partial t} \left( V - \vec{v} \cdot \vec{A}\right)$$

Estrictamente hablando, si $\vec{v}=\vec{v}(t)$, entonces la diferenciación operador debe actuar en la función. Sin embargo, todo depende de cómo usted elige para ver $\vec{v}$. Tomemos como ejemplo un genérico de Lagrange,

$$\mathcal{L}=f(x(t),t)$$

Para obtener las ecuaciones de movimiento asociados al sistema, necesitamos un particular derivado con respecto a la función diferenciada $\dot{x}(t)$, es decir,

$$\frac{\partial}{\partial (\partial_t x(t))}\mathcal{L}(x(t),t)$$

La expresión no es para ser visto por completo, literalmente. Estás no suponga para expresar $\mathcal{L}$ en términos de la función $\partial_t x(t)$, y luego se diferencian. En lugar de eso, te tratan como una variable independiente en su propio derecho; así que uno debe tomar ciertas expresiones en física con una pizca de sal, como dice el refrán. Si pensamos en $\vec{v}$ como una variable independiente, entonces no habíamos sujeto a la $\partial_t$.

Answer 2

Esta es otra manifestación de la ambigüedad en la notación para la derivada parcial. Si usted toma $\partial_t C(V,\vec{A},\vec{v})$, con $C(V,\vec{A},\vec{v}) \equiv V(\vec{r},t) - \vec{v}(t)\cdot \vec{A}(\vec{r},t)$, $\partial_t C|_{(V,\vec{A},\vec{v})} =0$, $\partial_t C |_{(\vec{A}, \vec{v})} = \partial_t V$, $\partial_t C|_{(V,\vec{v})} = -\vec{v}\cdot \partial_t \vec{A}$, $\partial_t C|_{(V,\vec{A})} = -\dot{\vec{v}} \cdot \vec{A}$, $\partial_t C|_{\vec{v}} = \partial_t V - \vec{v} \cdot \partial_t \vec{A}$. En ingenuas de la notación, todo lo anterior se denota por a $\partial_t C$, de ahí la confusión.

La confusión acerca de esto va tan lejos que yo he visto a un profesor en un campo de clase de teoría de definir $\bar{\partial}_\mu$ como el derivado de la que sólo actúa sobre las dependencias explícitas, porque los físicos (entre los que me incluyo) suelen abusar de la notación y escribir $\partial_\mu\phi$ cuando quieren decir $\partial_\mu\phi(x)$ en el lagrangiano. Al parecer, esta es la razón por la Goldstein utiliza la notación $d/dx^\mu$ en lugar de $\partial/\partial x^\mu$ en el capítulo de la clásica teoría de campo.