Expresión de forma cerrada para productos

Question

Cómo puedo encontrar una expresión de forma cerrada para los productos de la siguiente forma $$\prod_{k=1}^n (ak^2+bk+c)\space \text{?}$ $

Answer 1

Como ya se ha comentado por r9m, la idea clave es la de factorizar el polinomio. Cuando esto se hace, puede utilizar Pochhammer funciones que daría $$\prod_{k=1}^n (ak^2+bk+c)=a^n \left(\frac{2 a+b-\sqrt{b^2-4 c}}{2}\right){}_n \left(\frac{2 a+b+\sqrt{b^2-4 un c}}{2}\right){}_n$$ or transform to Gamma functions $$\prod_{k=1}^n (ak^2+bk+c)=a^n\frac{ \Gamma \left(n+\frac{b}{2}-\frac{\sqrt{b^2-4 c}}{2}+1\right) \Gamma \left(n+\frac{b}{2}+\frac{\sqrt{b^2-4 c}}{2}+1\right)}{\Gamma \left(\frac{b}{2}-\frac{\sqrt{b^2-4 c}}{2}+1\right) \Gamma \left(\frac{b}{2 a}+\frac{\sqrt{b^2-4 c}}{2}+1\right)}$$

Answer 2

El código de arce

produce $$ {\frac {{un} ^ {n+1}} {un} \Gamma \left (n +1-1/2\, {\frac {-b + \sqrt {-4\, ca + {b} ^ {2}}} {un}} \right) \Gamma \left (n +1-1/2\, {\frac {- b - \sqrt {-4\, ca + {b} ^ {2}}} {un}} \right) \times$$ $$ \left (\Gamma \left (1-1/2\, {\frac {-b + \sqrt {-4\, ca + {b} ^ {2}}} {un}} \right) \right) ^ {-1} \left (\Gamma \left (/2\ 1-1, {\frac {- b - \sqrt {-4\, ca + {b} ^ {2}}} {un}} \right) \right) ^ {-1}} $$