Distribución de subasta de finca

Question

En una finca de la subasta, varias piezas de maquinaria agrícola y ganadera son el bid y vendidas.

Hoy en día, hay $7$ distintos artículos para la subasta, y hay $3$ de los agricultores de licitación en ellos. Uno de los agricultores que declara que se va a ofertar, al menos, $2$ de los artículos (no especifica cuáles), y no va a ser superada.

Si este agricultor está diciendo la verdad, entonces, ¿cuántas maneras pueden los elementos se distribuyen entre los agricultores?

Asumir que todos los artículos se venden.

Mi solución :

$$\binom{7}{5} \cdot 3^{5}$$

Elija $5$ $7$ elementos (los otros dos se quedan con el campesino) y multiplicar por el número de formas de distribución de los $5$ artículos distintos a $3$ distintas personas.

Es malo y yo soy más de la cuenta, pero no entiendo cómo?

Answer 1

La solución correcta es como sigue. Una licitación de compra de al menos dos bienes. Usted puede ver esto como si este postor elige una cantidad de $k\in\{2,3,4,5,6,7\}$ los bienes, y el resto se distribuye entre los otros dos postores. Por lo tanto, dado que el postor $1$ compra $k$ los bienes, para lo cual hay $\binom{7}{k}$ posibilidades, hay $2^{7-k}$ posibilidades para la distribución de la $7-k$ bienes entre los últimos dos postores. Este rendimientos $$\begin{align}\sum_{k=2}^7\binom{7}{k}2^{7-k}&=\binom{7}{2}2^5+\binom{7}{3}2^4+\binom{7}{4}2^3+\binom{7}{5}2^2+\binom{7}{6}2^1+\binom{7}{7}2^0\\&=1611\neq5103=\binom{7}{2}3^5\end{align}$$ possible distributions of the $7$ bienes.

Así que, ¿por qué el doble cómputo? Esto es debido a que al calcular los $\binom{7}{5}3^5=\binom{7}{2}3^5$, se toman en cuenta ciertos posibles distribuciones varias veces. Estos son exactamente los de la distribución, donde el primer postor compra más de dos bienes, ya que el recuento de las distribuciones de donde postor $1$ compra de bienes de $1,2$ $3$ (por ejemplo) varias veces: usted cuenta esto cuando usted elige $1$ $2$ en el coeficiente binomial $\binom{7}{2}$ y del resto de las $5$ bienes $\{3,4,5,6,7\}$, bien $3$ va al postor $1$; pero también cuando usted elige $1$ $3$ en el coeficiente binomial $\binom{7}{2}$ y del resto de las $5$ bienes $\{2,4,5,6,7\}$, bien $2$ va al postor $1$, etc. Por supuesto, estas distribuciones son la misma y no debe ser contado varias veces.

Espero que esto aclare arriba para usted.