$A^2=-I_4$. Encontrar los posibles valores del polinomio mínimo y característica polinomial

Question

Satisfacer a que $A\in\mathbb{R}^{4\times 4}$ $$A^2=-I_4 .$ $

(a) encontrar los posibles valores de $m_a$ (polinomio mínimo) y $p_a$ (polinomio característico).

(b) encontrar un ejemplo para una satisfacción de la condición.

Por favor ayudarme a abordar la primera cuestión. Puedo asumir (b) se sigue de inmediato.

Answer 1

El polinomio mínimo es $m(x)=x^2+1$ porque es irreducible sobre $\mathbb{R}$. Sabemos que $m(A)=0$ y (debido a Cayley-Hamilton) $p(A)=0,$ $\operatorname{deg}(p)=4,$ el polinomio característico es $p(x)=(x^2+1)^2=x^4+2x^2+1.$ cuenta que el polinomio mínimo y el porcentaje de polinomio característico raíces. Es decir, no podemos añadir las raíces para el polinomio característico que ya no están presentes en el polinomio mínimo.

Answer 2

(a) El polinomio $f(x) = x^2 + 1$ se desvanece en $A$. Por lo tanto, $m_A$ divide $f$. Como $f$ es irreducible en $\mathbb R(x)$, $m_A=f$.

$p_A$ es un polinomio real. Sus raíces complejas son las de $m_A$. Y por Cayley-Hamilton teorema $m_A$ divide $p_A$. Por lo tanto $p_A=(x^2+1)^2$ como el grado de $p_A$ es igual a $4$.

(b) Ahora, considere la posibilidad de un no-vector cero $u$. $(e_1 = u, e_2 = A \cdot u)$ es un lineales independientes de la familia de vectores (ver la nota al final del post). Ha $A \cdot e_1 = e_2$$A \cdot e_2 = A^2 \cdot u = -u = -e_1$. Por lo tanto, la restricción de $A$ a que el avión $(e_1, e_2)$ tiene para la matriz: $$\begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}.$$

Encontrar un vector $e_3$ tal que $(e_1, e_2,e_3)$ es lineal independiente. Esto es posible ya que su dimensión de espacio es igual a $4$. Entonces usted será capaz de probar que $(e_1, e_2,e_3, A \cdot e_3)$ también es lineal independiente. La matriz de $A$ en esta base es $$\begin{pmatrix} 0 & -1 & 0 & 0\\ 1 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & -1\\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}.$$

Y hemos demostrado que $A$ es siempre similar a una matriz.

Nota: la prueba de que $(u, A \cdot u)$ son lineales independientes para $u \neq 0$.

Supongamos que $\alpha u + \beta Au = 0$ $\alpha$ $\beta$ cero. A continuación, aplicar la $A$ a ambos lados de la igualdad de $\alpha Au - \beta u = 0$. Multiplicar la primera igualdad por $\alpha$, el segundo por $\beta$ y se restan ambos resultantes de igualdades. Consigue $(\alpha^2 + \beta^2) u=0$. Como $u$ se supone debe ser distinto de cero, esto implica $\alpha = \beta =0$.

Answer 3

Tenemos $$ A ^ 2 = - I\ A ^ 2 + I = 0 $ y lee directamente el polinomio $f(x) = x^2 + 1$, $f(A) = 0$. Ahora solo tienes que averiguar cómo se relacionan los polinomios característicos y mínima con cualquier polinomio dado donde $A$ es una raíz.