Demuestre si $X$ es un espacio métrico compacto, entonces $X$ es separable.

Question

Dejemos que $X$ sea un espacio métrico. Demostrar que si $X$ es compacto, entonces $X$ es separable.

Sé que si $X$ es separable entonces $X$ contiene un subconjunto denso contable.

Y que un subconjunto $E \subset X $ es denso en $X$ si el cierre de $E$ es igual a $X$ .

También sé que desde $X$ es compacto, entonces hay dos definiciones que podemos utilizar: 1. $X$ es cerrado y acotado o 2. toda cubierta abierta de $X$ admite una subcubierta finita.

Creo que porque estamos tratando de mostrar $X$ es separable por lo que hay algún subconjunto denso - queremos usar la definición de compacto implica cerrado y acotado. (Mi pensamiento detrás de esto es que queremos mostrar que un subconjunto es denso y denso significa que el cierre del subconjunto es igual a $X$ - el cierre es la unión del conjunto y sus puntos límite. Si $X$ es compacto entonces un subconjunto de $X$ sería compacto, por lo que ese subconjunto es cerrado y acotado. El subconjunto es cerrado por lo que contiene todos sus puntos límite....)

Prueba de ello. Así que $X$ es compacto. Ahora dejemos que $E \subset X$ . Desde $X$ es compacto, entonces $E$ es un subconjunto compacto de $X$ . Ahora tenemos que demostrar que $E$ es un subconjunto denso contable...

No sé a dónde ir desde aquí.

Tengo todas estas definiciones de términos, pero no sé cómo utilizarlas para demostrar que $X$ es separable.

OOH también tengo la pista para cubrir $X$ con vecindades de radio $\frac{1}{n}$ - por lo que para cada número entero positivo $n$ hay un número finito de vecindades de radio $\frac{1}{n}$ cuya unión cubre $X$ . Así que tal vez sería mejor trabajar con la definición de tapa abierta de compacto.

Answer 1

Un enfoque consiste en demostrar que si $X$ es un espacio métrico compacto, entonces $X$ está totalmente acotado. Esto significa que para cada $\varepsilon > 0$ hay bolas $B_1(\varepsilon),\dots,B_{n(\varepsilon)}(\varepsilon)$ cuyo radio es como máximo $\varepsilon$ y que cubren $X$ . En realidad, esto es bastante sencillo de demostrar, porque si $X$ es un espacio métrico compacto, entonces dado $\varepsilon > 0$ la portada $\{ B_{\varepsilon}(x) : x \in X \}$ tiene una subcubierta finita de la forma deseada.

A partir de ahí, cubra $X$ con bolas de radio $1$ ; extrae un punto de cada uno. Ahora cada punto está dentro de $1$ de un punto de su conjunto (finito). Portada $X$ con bolas de radio $1/2$ ; extrae un punto de cada uno. Ahora cada punto está dentro de $1/2$ de un punto de su conjunto (todavía finito). Repite la operación para cada $1/m$ para $m \in \mathbb{N}$ y tomar la unión contable. Una unión contable de conjuntos finitos es contable, así que tienes tu subconjunto denso contable.

Answer 2

Una pista: Para $\delta$ vemos que $\{ B_{\delta}(x) : x \in X \}$ es una cubierta abierta de $X$ . Existe una subcubierta finita de esta cubierta ya que $X$ es compacto, por lo que existe un conjunto finito $E_\delta$ tal que $\{B_\delta(x) : x \in E_\delta\}$ es una cubierta abierta de $X$ . En particular, esto significa que para cualquier $y \in X$ existe un $x \in E_\delta$ tal que $d(x,y) < \delta$ .

Encuentre una unión contable de tales $E_\delta$ para construir un subconjunto denso de $X$ .

Answer 3

Lo que creo que es un enfoque más fácil es demostrar la propiedad más fuerte que $X$ tiene una base contable (usando esta pista sobre la cobertura $X$ con todas las bolas abiertas de radio $1/n$ y entonces la existencia de un subconjunto contablemente denso de $X$ es una consecuencia de $X$ ser contable en segundo lugar (tener una base contable).