Mod-$R$, Mod-$S$ y Mod-$R \otimes S$

Question

Deje $R,S,T$ ser conmutativa anillos y asumir que $R,S$ $T$- álgebras.

En una respuesta a esta pregunta, Pierre-Yves Gaillard da un ejemplo de una $R \otimes_T S$-módulo que no puede ser escrito como el producto tensor de una $R$-módulo y un $S$-módulo (no, $T=k$, $R=S=k^2$ donde $k$ es un campo).

Estoy interesado en la relación entre el módulo de categorías Mod-$R$, Mod-$S$ y Mod-$R \otimes_T S$. ¿Hay algún tipo de operación en general (un "producto tensor") en abelian categorías que toma Mod-$R$, Mod-$S$ y Mod-$T$ (o $T$) y produce Mod-$R \otimes_T S$?

Answer 1

Sí, producto del tensor de Deligne, producto del tensor de Kelly, todos los coproductos de cocomplete $\otimes$-tensor categorías. Todos tienen el % de propiedad $\mathsf{Mod}(R) \otimes_k \mathsf{Mod}(S) \simeq \mathsf{Mod}(R \otimes_k S)$. Ver Schäppi trabajar para generalizaciones a esquemas y haces casi coherentes.