Estoy convencido de esto, directamente de la definición, pero me pareció extraño que no pude encontrar una referencia. Cada campo de característica cero contiene $\mathbb{Q}$ y por lo tanto, dado y natural número $n$ y cualquier elemento de campo de elemento, decir $g$, podemos escribir $f=g*\frac{1}{n}$ y $nf=g$. ¿Estoy haciendo algo mal aquí?
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
Jonik
Puntos
7937
(Para quitar esto de "sin respuesta".)
No, estás en lo correcto. Cada $\mathbb{Q}$-álgebra, incluyendo cada anillo contiene $\mathbb{Q}$ (unital) sub-anillo (con la misma unidad), es un múltiplo de grupo, precisamente porque contiene un elemento que se comporta como $\tfrac{1}{n}$.
Más en general, una $R$-álgebra es una $R$-módulo, que da información sobre la estructura aditiva de los álgebra. Un $\mathbb{Q}$-módulo es un espacio vectorial sobre $\mathbb{Q}$, por lo que debe ser una suma directa de copias de $\mathbb{Q}$, por lo que es un múltiplo de torsión libre de abelian grupo.
Un argumento similar muestra que cada anillo de característica p tiene un aditivo grupo que es una suma directa de copias de $\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$, por lo que es divisible por cada entero coprime a p.
Por extraño que un (unital, asociativa) álgebra con un múltiplo de aditivos grupo debe, de hecho, una de torsión libre divisible aditivo grupo y ser un $\mathbb{Q}$-álgebra. Algunas pruebas se dan como respuestas a esta pregunta, pero su argumento va a funcionar igual de bien aquí en el reverso.
