Supondremos que el problema significa que el polinomio tiene a raíz puramente imaginaria, no que todas las raíces sean puramente imaginarias.
Lo contrario no es cierto, a menos que también se sepa que $\frac{a_3}{a_1}>0$ .
Para ello, demuestre que si $$a_3^2 + a_1^2 a_4 = a_1 a_2a_3$$ entonces $$z^4+a_1z^3+a_2z^2+a_3z+a_4 = (z^2+\frac{a_3}{a_1})(z^2+a_1z+\frac{a_4a_1}{a_3})$$
Los coeficientes de $x^3$ es $a_1$ en ambos lados, el coeficiente de $z$ es $a_3$ en ambos lados, y la constante es $a_4$ en ambos lados. Así que sólo hay que demostrar que el coeficiente de $z^2$ es $a_2$ en ambos lados. A la derecha, ese coeficiente es $$\frac{a_4a_1}{a_3} + \frac{a_3}{a_1} = \frac{a_4a_1^2+ a_3^2}{a_1a_3}=\frac{a_1a_2a_3}{a_1a_3} = a_2$$
Así que los dos polinomios son iguales. Pero $z^2+\frac{a_3}{a_1}$ tiene una raíz puramente imaginaria cuando $\frac{a_3}{a_1}>0$ pero no lo hace cuando $\frac{a_3}{a_1}<0$ . (El caso de igual cero depende de lo puramente imaginario, pero como sabemos que $a_3\neq 0$ Esto es irrelevante).
Por otro lado, la otra parte $z^2+a_1z + \frac{a_4a_1}{a_3}$ nunca tiene raíces puramente imaginarias cuando $a_1\neq 0$ . Por lo tanto, podemos decir que cuando tenemos verdaderos $a_1,a_2,a_3,a_4\neq 0$ entonces el polinomio $$z^4+a_1z^3+a_2z^2+a_3z+a_4$$ tiene una raíz puramente imaginaria si y sólo si $a_3$ y $a_1$ tienen el mismo signo y $a_3^2 + a_1^2 a_4 = a_1 a_2a_3$ .
Ojo, la imagen del libro es en realidad el problema contrario, y es un error de la editorial/autores. Te pide que demuestres que el polinomio tiene una raíz imaginaria pura si $a_3^2 + a_1^2 a_4 = a_1 a_2a_3$ lo que no es el caso. Para un ejemplo sencillo, pongamos $(a_1,a_2,a_3,a_4)=(-1,1,1,-2)$ . Entonces $$z^4+a_1z^3+a_2z^2+a_3z+a_4=(z-1)(z+1)(z^2-z+2)$$ que no tiene una raíz imaginaria pura.
