En mi clase de teoría de la medida, el profesor demostró que si $\mu$ es una medida finita sobre un espacio $X$ ( $\mu(X) < \infty$ ) y $A_1 \subset A_2 \subset A_3 \subset \cdots$ entonces $\lim_{n\to\infty} \mu(A_n)=\mu(\bigcup_{n} A_n)$ . Mi pregunta es:
¿Es esto falso para las medidas infinitas?
He intentado jugar un poco con la medida de Lebesgue en $\mathbb{R}$ pero no pude presentar ningún contraejemplo. ¿Alguna ayuda? Gracias.
Esto es siempre cierto. Aplicar la aditividad sigma en
$B_n=A_n\backslash A_{n-1}$ donde $B_1=A_1$ . Tenga en cuenta que el $B_n$ son disjuntos, por lo que podemos utilizar la aditividad sigma en la segunda igualdad $$\mu(A_n)=\mu(\bigcup_{i=1}^n B_i)=\sum_{i=1}^n \mu(B_i).$$ Si se toman los límites de ambos lados se obtiene $$\lim_{n\rightarrow \infty}\mu(A_n)=\sum_{i=1}^\infty \mu(B_i)=\mu(\bigcup_{i=1}^\infty B_n)=\mu(\bigcup_{i=1}^\infty A_n).$$
En la 2ª igualdad hemos utilizado la sigma-aditividad "al revés", y la 3ª igualdad se deduce por la igualdad de los dos conjuntos.
Hmm, el problema es que la ecuación deseada $\mu(B_n)=\mu(A_n)-\mu(A_{n-1})$ no siempre es válido en el caso infinito...
Eso es cierto, pero ¿en qué parte de mi solución cree usted que se aprovecha eso? La primera igualdad es verdadera porque los conjuntos son iguales.
En el último paso se utiliza el hecho de que $\mu(B_n)=\mu(A_n)-\mu(A_{n-1})$ para concluir que $\sum_{i=1}^n \mu(B_n)=\sum_{i=1}^n \mu(A_n)$ al telescópico de los términos, ¿verdad?
No hay ningún problema cuando $\mu$ puede tomar el valor $+\infty$ . Si $\mu(A_n) =\infty$ para algunos $N$ entonces $$\mu\left(\bigcup_{n=1}^\infty A_n\right) \geqslant \mu(A_N)=\infty,$$ y $$\sum_{n=1}^\infty \mu(A_n)\geqslant \mu(A_N)=\infty,$$ así que $$ \mu\left(\bigcup_{n=1}^\infty A_n\right) = \sum_{n=1}^\infty \mu(A_n).$$
Robert Bartle's Los elementos de la integración (página 21 del libro de texto) dice:
3.4 Lemma: Dejemos que $\mu$ sea una medida definida en un $\sigma$ -álgebra en $X$ .
(a) Si $(A_n)$ es una secuencia creciente de conjuntos en $X$ entonces $$\mu \left(\bigcup_{n=1}^\infty A_n \right)=\lim_{n \to \infty} \mu(A_n).$$
(b) Si $(B_n)$ es una secuencia decreciente de conjuntos en $X$ y si $\mu(B_1) < \infty$ entonces $$\mu \left(\bigcup_{n=1}^\infty B_n \right)=\lim_{n \to \infty} \mu(B_n).$$
La secuencia creciente de conjuntos no requiere que $\mu(X) < \infty$ .
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Esto es así siempre que $\mu $ es contablemente aditivo. Para ver esto, rompa el $A_{n}$ definiendo $A'_{n}=A_{n}-A_{n-1}$ entonces aplique $\mu $ y utilizar el hecho de que el $A'_{n}$ son disjuntos.