Explicación de la descomposición de Beveridge Nelson

Question

¿Puede alguien explicar cómo funciona la descomposición Beveridge-Nelson? Hasta ahora todo lo que sé es que estima los ciclos de tendencia en datos de series temporales no estacionarias.

He mirado varios artículos de revistas y todavía estoy confundido sobre cómo funciona http://research.economics.unsw.edu.au/jmorley/bn.pdf

Answer 1

La descomposición de Beveridge-Nelson es una descomposición de $ARIMA(p,1,q)$ proceso. Dicho proceso tiene una raíz unitaria:

$$y_t=y_{t-1}+u_{t},$$

pero $u_t$ no es un proceso de ruido blanco, es un $ARMA(p,q)$ proceso. Lo que Beveridge y Nelson observaron en su artículo original es que es posible descomponer este proceso en dos partes:

$$y_t=\tau_t+\xi_t,$$

donde $\tau_t$ es ahora un paseo aleatorio "puro", es decir $\tau_t=\tau_{t-1}+\varepsilon_t$ , donde $\varepsilon_t$ es un proceso de ruido blanco. El término $\xi_t$ es otro proceso estacionario. Esta descomposición es la identidad algebraica (los detalles a continuación), pero puede dar lugar a interpretaciones interesantes.

La declaración precisa. Sea $u_t=\sum_{j=0}^\infty \psi_{j}\varepsilon_{t-j}$ , donde $\varepsilon_t$ es un proceso de ruido blanco y $\sum j|\psi_j|<\infty$ . Entonces

$$u_1+...+u_t=\psi(1)(\varepsilon_1+...+\varepsilon_t)+\eta_t-\eta_0,$$

donde

$$\psi(1)=\sum_{j=0}^\infty\psi_j,\quad \eta_t=\sum_{j=0}^\infty\alpha_j\varepsilon_{t-j},\quad \alpha_j=-(\psi_{j+1}+\psi_{j+2}+...), \quad \sum|\alpha_j|<\infty.$$

Esta descomposición tiene una buena aplicación, por ejemplo

$$\frac{1}{\sqrt{T}}\sum_{t=1}^Tu_{t}=\frac{1}{\sqrt{T}}\psi(1)\sum_{t=1}^T\varepsilon_t+\frac{1}{\sqrt{T}}(\eta_t-\eta_0)\to N(0,[\psi(1)\sigma]^2),$$

donde aplicamos el teorema del límite central para el primer término y observamos que el segundo término va a cero, debido a la estacionariedad (la media es cero y la varianza del término va a cero, debido a T en el denominador).

Así obtenemos que el comportamiento límite del proceso ARIMA(p,1,q) es simplemente el mismo que para un proceso ARIMA(0,1,0). Este hecho se utiliza mucho en la literatura de series temporales. Por ejemplo, la prueba de raíz unitaria de Phillips y Perron se basa en ella.