¿Es $\mathbb Q$ un cociente de $\mathbb R[X]$?

Question

¿Hay un ideal $I \subseteq \mathbb R[X]$ tal que $\mathbb R[X]/I \cong \mathbb Q$?

$I$ claramente no es un ideal principal.

Answer 1

Sólo podría ser yo pero me siento que existente responde a trabajar demasiado duro.

Supongo que $f$ es un isomorfismo de tal.

En $\mathbb R[x]/I$, las plazas el elemento $\sqrt 2 +I$ $2+ I$. Desde mapas de $1+I$ $1\in \mathbb Q$, tienes que $f(\sqrt 2+I)$ es una raíz cuadrada de $2$ $\mathbb Q$. ¿Ver el problema?

Answer 2

$\Bbb R[X]/I$ es necesariamente un espacio del vector encima $\Bbb R$, por lo que es o ${0}$ o es incontable. No puede ser isomorfo al $\Bbb Q$ contable distinto de cero.

Answer 3

Si existe este ideal, considerar el homomorfismo del anillo obtenido componiendo los homomorphisms del anillo

$$\mathbb R \rightarrow \mathbb R[X] \rightarrow \mathbb{R}[X]/I \xrightarrow{\cong} \mathbb Q$$

¿Qué puede decir sobre el núcleo de este homomorfismo del anillo?

Answer 4

Si $R$ es un anillo, entonces $R/I$ es un campo de $\iff I$ es máxima$^\dagger$. La máxima ideales en cualquier anillo de polinomios sobre un campo son precisamente las de la forma $\langle f \rangle$ donde $f$ es un polinomio irreducible$^\ddagger$. ¿Cuáles son los polinomios irreducibles en $\mathbb{R}[x]$? Ellos son el lineal de los polinomios (en cuyo caso el cociente devuelve $\mathbb{R}$) así como la cuadráticas de positivo discriminante.

Supongamos $I = \langle f \rangle$ donde $f$ es una ecuación cuadrática con $\alpha$ como una raíz. Se puede demostrar que los $\mathbb{R}[x]/I$ es necesariamente isomorfo a $\mathbb{C}$ aplicando el teorema del isomorfismo para la evaluación homomorphism $\text{ev}_\alpha: \mathbb{R}[x] \rightarrow \mathbb{C}$ definida donde $g(x) \mapsto g(\alpha)$. Usted puede utilizar un enfoque similar para demostrar que el modding a cabo por un polinomio lineal da $\mathbb{R}$.

En resumen, $\mathbb{R}$ $\mathbb{C}$ son la única posibilidad de los campos obtenidos por un cociente de $\mathbb{R}[x]$.

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$^\dagger$ Ver aquí para la discusión.

$^\ddagger$ La razón de que estos son principalmente generado, como tal, es debido a un algoritmo de Euclides existe gracias a polinómica de la división, en el que el ideal generado por un conjunto dado es también principalmente generado por el "máximo común divisor" de los elementos de ese conjunto (cf. Euclídeo de dominio).