Aniquilador de un espacio vectorial $V$ es el subespacio cero de $V^*$

Question

Estoy leyendo el libro de Hoffman y Kunze Álgebra lineal y en la sección 3.5, página 101, definen el aniquilador de un subconjunto como sigue

Definición. Si $V$ es un espacio vectorial sobre el campo $F$ y $S$ es un subconjunto de $V$ El aniquilador de $S$ es el conjunto $S^0$ de los funcionales lineales $f$ en $V$ tal que $f(\alpha) = 0$ por cada $\alpha$ en $S$ .

En el siguiente párrafo, dicen que

Si $S = V$ entonces $S^0$ es el subespacio cero de $V^*$ . (Esto es fácil de ver cuando $V$ es de dimensión finita).

Mi pregunta se refiere a la afirmación que figura entre los paréntesis. ¿Hay alguna sutileza cuando se consideran espacios vectoriales de dimensión infinita? A continuación, mi prueba del hecho de que $S^0 = \{ 0 \}$ cuando $S = V$ .

Dejemos que $S = V$ . Si $f \in V^*$ es un funcional no nulo, entonces $f(v) \neq 0$ para algunos $v \in V = S$ . Así que, $f \not\in S^0$ . Así que, $S^0 \subseteq \{ 0 \}$ . Además, si $0$ es el funcional cero, entonces mapea cada $v \in V = S$ a $0$ y así $\{ 0 \} \subseteq S^0$ . Por lo tanto, $S^0$ es el subespacio cero de $V^*$ .

No veo dónde está la dimensión de $V$ juega un papel en la prueba anterior. ¿Es redundante la afirmación dada dentro de las paréntesis, o me estoy perdiendo algo crucial para entender el caso $\dim V = \infty$ ?

Answer 1

Su argumento es correcto ya que tenemos que $$ f \in V^0 \iff \forall v \in V: f(v) = 0 \iff f = 0. $$ (Esto es sólo una versión comprimida de su argumentación).

Lo que también se cumple es una afirmación relacionada, a saber, que el conjunto $$ U := \{v \in V \mid \forall f \in V^*: f(v) = 0\} $$ es sólo el espacio vectorial cero: Podemos extender cada $v \in V$ , $v \neq 0$ a una base $\mathcal{B}$ de $V$ y luego definir una función lineal (única) $f \colon V \to F$ con $f(v) = 1$ y $f(v') = 0$ para todos $v' \in \mathcal{B}$ , $v' \neq v$ (los valores $f(v')$ no importa). Entonces $f(v) = 1 \neq 0$ Así que $v \notin U$ .

Como esta construcción utiliza una base $\mathcal{B}$ de $V$ En este caso, se puede argumentar que hay una diferencia entre el caso de dimensión finita y el de dimensión infinita para esta afirmación relacionada. (No sé si Hoffman & Kunze demuestran la existencia de bases para espacios vectoriales de dimensión infinita). Mi mejor opinión es que Hoffman y Kunze confundieron esto al escribir el texto citado.