Intento mostrar que dado cualquier campo numérico$K$ de grado$n$, siempre puedo encontrar una base integral$\{ w_1, ..., w_n \}$ donde$w_1 = 1$. Estoy interesado en cómo probar esto, pero estoy atrapado en este momento.
Apreciaria cualquier sugerencia. ¡Muchas gracias!
Respuestas
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Lord Shark the Unknown
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Sí.
Supongamos que uno tiene un número entero base $\alpha_1,\ldots,\alphan$. Entonces $$1=\sum{i=1}^n c_i\alpha_i$ $ $c_i\in\Bbb Z$. Reclamo que $g:=\gcd(c_1,\ldots,c_n)=1$. Esto es porque $1/g\in\Bbb Q\cap\mathcal{O}_K=\Bbb Z$. Entonces existe un entero matriz $M$ % determinante $\pm1$con primera fila $(c_1,\ldots,c_n)$. Entonces las entradas de la columna vector $$M\pmatrix{\alpha_1\\vdots\\alpha_n}$ $ también son la base de un número entero, y la entrada superior es $1$.
Lubin
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He aquí otra prueba, o tal vez la misma prueba como @LordSharttheUnknown pero en diferentes palabras:
Deje que nuestro campo de $K$, de grado $n$$\Bbb Q$, han anillo de enteros $R$. Sabemos que $R$ es un servicio gratuito de $\Bbb Z$-módulo de rango $n$. Voy a argumentar que el $R/\langle1\rangle$ es libre de rango $n-1$, con lo que con un $\Bbb Z$base $\{\beta_2,\cdots,\beta_n\}$. Levantar estos elementos de $R$, lo que, junto con $1$, claramente se forma una integal base.
La pregunta es si $R/\langle1\rangle$ ha de torsión. Si no, mi afirmación anterior es verificada. Vamos, a continuación,$\xi\in R/\langle1\rangle$, la torsión de la orden de $m$, por lo que el $m\xi=0$; eleva a $R$ conseguir $x\in R$$mx=r\in\Bbb Z$. Ahora, ciertamente,$g=\gcd(m,r)=1$, de lo contrario $\frac mg\xi=0$, y la orden de $\xi$ sería de menos de $m$.
De $Am+Br=1$ tenemos $mBx=Br=(1-Am)\cdot1$, $m(Bx+A)=1$ de modo que $\frac1m\in R$, contradicción, a menos $m=\pm1$, por lo que no hay torsión en $R/\langle1\rangle$, después de todo. Y que es, al conceder que un finitely generado torsiones $\Bbb Z$-módulo libre.
