Es bien sabido que la eliminación de muchos puntos contables del plano euclidiano no afecta la conexión de la trayectoria. Me interesa saber que si elimino una colección contable de bolas disjuntas separadas por pares del avión, ¿permanecerá conectada o no? . Cualquier ayuda sería muy apreciada, ¡gracias de antemano!
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Cómo sobre el siguiente medio tercios de la construcción? Tenga en cuenta que he hecho esto, tomado de la construcción del conjunto de Cantor. Tal vez alguien demuestra que es un error.
Todas las pelotas tienen su centro en la $x$-eje y se cruzan en un intervalo cerrado $[a,b]$. Comenzar con una cadena de cerrados bolas con un diámetro de $[2k-1,2k]$, $k\in{\mathbb Z}$. Entre estos intervalos son abiertos intervalos de longitud de $1$ que todos serán llenos de la misma manera. Es suficiente para describir la construcción del intervalo de $\>]0,1[\>$. Poner una bola con un diámetro $\bigl[{1\over3},{2\over3}\bigr]$, luego de dos bolas con un diámetro de $\bigl[{1\over9},{2\over9}\bigr]$$\bigl[{7\over9},{8\over9}\bigr]$, luego de cuatro bolas con un diámetro de $\bigl[{1\over27},{2\over27}\bigr]$,$\>\bigl[{7\over27},{8\over27}\bigr]$,$\>\bigl[{19\over27},{20\over27}\bigr]$,$\>\bigl[{25\over27},{26\over27}\bigr]$, y así sucesivamente. En todo, sólo hay countably muchos discontinuo cerrado bolas, pero que bloquean completamente la $x$-eje.
