Derivación de la fórmula de Rodrigues y de la función generadora del polinomio de Hermite a partir de $H_n(x)= e^{x^2/2}(x-\frac{d}{dx})^ne^{-x^2/2}$

Question

Hay una gran variedad de formas de definir primero los polinomios de Hermite de una manera determinada y luego derivar representaciones alternativas de los mismos. Por ejemplo, en los métodos matemáticos de Mary Boas (p. 607, 3ª edición), se comienza con la ecuación diferencial $y''_n-x^2y_n = -(2n+1)y_n$ . Los métodos matemáticos de Arfken (p. 817, 6ª edición) comienzan con una función generadora $g(x,t)=e^{2xt-t^2}=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{t^n}{n!}H_n(x)$ . Griffiths Intro to Q.M. (p.57,problema 2.17, 2end edition) comienza con la fórmula de Rodrigues: $H_n(x)= (-1)^ne^{x^2}\frac{d^n}{dx^n}e^{-x^2}$ .

Me gustaría hacer lo siguiente: Partir de la definición $H_n(x)= e^{x^2/2}(x-\frac{d}{dx})^ne^{-x^2/2}$ y luego derivar la fórmula de Rodrigues $H_n(x)= (-1)^ne^{x^2}\frac{d^n}{dx^n}e^{-x^2}$ y luego la función generadora $g(x,t)=e^{2xt-t^2}=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{t^n}{n!}H_n(x)$ .

No sé por dónde empezar. Mi interés principal en esto es la mecánica cuántica y cómo este polinomio de Hermite se utiliza como una solución al oscilador armónico cuántico. Nunca he utilizado los polinomios de Hermite (ni las funciones de Laguerre, Legendre o Bessel)... Así que agradecería algún consejo sobre cómo hacerlo.

edit: Bien, este es mi enfoque para derivar la fórmula de Rodrigues $H_n(x)= (-1)^ne^{x^2}\frac{d^n}{dx^n}e^{-x^2}$ : Utilizo la inducción en $n$ . Para $n = 0$ ambos $H_n(x)= e^{x^2/2}(x-\frac{d}{dx})^ne^{-x^2/2}$ y Rodrigues dan $1$ . Supongamos ahora que la igualdad se mantiene para algún $n$ y mostrarlo para $n+1$ pero ahora estoy atascado de nuevo...

Answer 1

Para empezar, se puede pasar de la fórmula de Rodrigues a la función generadora observando que la igualdad para la función generadora se mantiene si y sólo si $$\frac{d^n}{dt^n}|_{t=0} g(x,t) = H_n(x)$$ Pero el lado izquierdo se evalúa como $$\frac{d^n}{dt^n}|_{t=0} e^{2xt-t^2} = \frac{d^n}{dt^n}|_{t=0} e^{x^2} e^{-(x-t)^2} = e^{x^2}\frac{d^n}{dt^n}|_{t=0}e^{-(x-t)^2}$$ Ahora sustituye $t=x-u$ en la expresión de la derecha, de modo que se convierte en $$e^{x^2}(-1)^n\frac{d^n}{du^n}|_{u=x}e^{-u^2}$$ que es exactamente la fórmula de Rodrigues.