¿Cómo encontrar $\sum_{n=0}^{+\infty} \dfrac{1}{(kn)!}$?

Question

<blockquote> <p>Quiero calcular $$S_k = \sum_{n=0}^{+\infty} \dfrac{1}{(kn)!}$$ when $k\in\Bbb N ^ * $.</p> </blockquote> <p>He intentado encontrar una ecuación de recurrencia para $k$, pero encontré nada realmente interesante.</p> <p>Ya sé que $k=1, S_1 = e$ y $S_2 = ch(1)$, pero no sé qué hacer para $k\geq 3$.</p>

Answer 1

Esto puede ser realizado a través de la serie multihilo. Si uno tiene una potencia de la serie $$f(x)=\sum_{n=0}^\infty a_n x^n$$ uno puede recoger los términos con $k\mid n$ como sigue. Deje $\zeta=\exp(2\pi i/k)$ y considerar $$\sum_{j=0}^{k-1}f(\zeta^j x)=\sum_{j=0}^{k-1}\sum_{n=0}^\infty a_n\zeta^{jn}x^n =\sum_{n=0}^\infty a_nx^n\sum_{j=0}^{k-1}\zeta^{jn}.$$ El interior de la suma es un médico de cabecera y es cero, a menos que $k\mid n$, en cuyo caso es igual a $k$. Por lo tanto $$\sum_{j=0}^{k-1}f(\zeta^j x) =k\sum_{m=0}^\infty a_{km}x^{km}.$$ Tomando $x=1$, $$\sum_{m=0}^\infty a_{km}=\frac1k\sum_{j=0}^{k-1}f(\zeta^j).$$

Así, $$\sum_{m=0}^\infty \frac1{(km)!}=\frac1k\sum_{j=0}^{k-1}\exp(\zeta^j) =\frac1k\sum_{j=0}^{k-1}\exp(\cos(2\pi j/k))\cos(\sin(2\pi j/k))$$ en la toma de piezas reales.

Answer 2

Esto está estrechamente relacionado con la serie multihilo.

Deje $$f(z)=\sum^\infty_{n=0}\frac1{n!}z^n=e^z$$

Deje $a_n=\frac1{n!}$.

Entonces, $$S_k=\sum^\infty_{m=0}a_{km}z^{km}$$ where $z=1$.

Por el multihilo fórmula, podemos obtener inmediatamente $$S_k=\frac1k\sum^{k-1}_{p=0}\text{exp}\left(e^{\frac{2\pi ip}{k}}\right)$$

PENSAMIENTOS:

Cómo evaluar $S_\infty$ a partir de la fórmula para $S_k$ I derivados de arriba?

Seguimiento:

$S_\infty$ es una suma de Riemann! $$S_\infty=\int_0^\infty e^{e^{2\pi ix}}dx$$

RESPUESTA A COMENTARIO:

Referencia: página de la Wikipedia