Representación matricial de los operadores lineales

Question

Dejemos que $S:\mathbb R^n \to \mathbb R^n$ sea dada por $S(v) = \alpha (v)$ para un fijo $\alpha \in \mathbb R, \alpha \neq 0$ . Dejemos que $T:\mathbb R^n \to \mathbb R^n$ sea un operador lineal tal que $B = (v_1, v_2, ..., v_n)$ es un conjunto de vectores propios linealmente independientes de $T$ . Entonces demuestre o refute que la matriz de $T-S$ con respecto a $B$ es diagonal.

Claramente, $B$ constituye una base para $\mathbb R^n$ . Esto implica que $T$ es diagonalizable y, por tanto, la representación matricial de $T$ con respecto a $B$ (es decir $[T]_B$ ) es diagonal, con los correspondientes valores propios de $T$ (decir $\lambda_1, \lambda_2, ..., \lambda_n$ ) como entradas diagonales.

También, $S$ es otro operador lineal en $\mathbb R^n$ por su definición en el problema. Con respecto a $B$ la representación matricial de $S$ (es decir $[S]_B$ ) también es diagonal, con $\alpha$ como las entradas diagonales.

Por lo tanto, la representación matricial de $T-S$ con respecto a $B$ es de nuevo diagonal, con entradas diagonales $\lambda_1-\alpha, \lambda_2-\alpha, ..., \lambda_n-\alpha$ porque $(T-S)(v_i) = T(v_i) - S(v_i) = (\lambda_i - \alpha)(v_i)$ , $v_i \in B, 1 \leq i \leq n$ .

¿Es correcta mi conclusión?

Answer 1

Su respuesta es correcta.

Una forma diferente de formularlo es utilizando las siguientes propiedades de la representación de la base:
Dejemos que $B$ ser cualquier base de $\Bbb R^n$ :

• El la representación matricial es lineal :
  Si $\mathcal L,\mathcal L'\colon \Bbb R^n \to \Bbb R^n$ son mapeos lineales y $r,s\in\Bbb R$ entonces $[r\mathcal L+s\mathcal L']_B=r[\mathcal L]_B+s[\mathcal L']_B$ .
• El la representación matricial de la identidad es invariante de la base :
  Si $\mathcal{I}(x)=x$ para todos $x\in\Bbb R^n$ y $B'$ es una base de $\Bbb R^n$ entonces $[\mathcal{I}]_B=[\mathcal{I}]_{B'}$ .

Así que en su caso, si dejamos que $\mathcal{L}=T$ , $\mathcal{L'}=S$ , $r=1$ , $s=\alpha$ y $B'$ la base canónica, entonces

$$[T-S]_B = [T]_{B}-[S]_B=[T]_{B}-\alpha [\mathcal{I}]_{B'}$$

que es una matriz diagonal como $[T]_{B}$ es diagonal porque $B$ contiene los vectores propios de $T$ y $[\mathcal{I}]_{B'} =I_n$ es la matriz de identidad.