Caracterización de la probabilidad uniforme en un grupo finito

Question

El siguiente ejercicio trata de Diaconis' libro del Grupo de Representaciones en Probabilidad y Estadística. Aquí $G$ es un grupo finito, y $U$ es la distribución uniforme en $G$, es decir, $U(s) = 1/|G|$ todos los $s\in G$.

Ejercicio 5. Deje $P$ ser una probabilidad en $G$. Definir $\overline P(s) = P(s^{-1})$. Mostrar que $U = P\ast \overline P$ si y sólo si $P$ es uniforme.

Una probabilidad de $P\colon G\to\Bbb R_{\ge 0}$ es una función de la satisfacción de $\sum_{s\in G}P(s) = 1$. Tenga en cuenta que si $P$ $Q$ son probabilidades, entonces, por definición, $$ P\ast Q(s) = \sum_{t\in G}P(st^{-1})P(t). $$ Si $P = U$, entonces no es difícil mostrar $U = P\ast \overline P$. Mi pregunta es acerca de la otra dirección. He intentado usar la transformada de Fourier de la inversión de la fórmula: $$ P(s) = \sum_id_i\operatorname{Tr}(\rho_i(s^{-1})\hat P(\rho_i)), $$ donde el $\rho_i$ son las representaciones irreducibles de $G$ $d_i$ es el grado de $\rho_i$. Por definición, $\hat P(\rho_i) = \sum_{s\in G} P(s)\rho_i(s)$. Sin embargo, esto no rendimiento de cualquier cosa, además de a $P(s) = 1/|G| \cdot P(s)\cdot |G|$.

Me las arreglé para mostrar que $\sum_{s\in G}P(s)^2 = 1/|G|$ mirando a la representación de $G$, que sin duda es una propiedad que la distribución uniforme en $G$ tiene, pero no he sido capaz de progresar. También es pertinente aquí es la Plancherel fórmula: $$ \sum_{s\in G}f(s^{-1})h(s) = \frac{1}{|C|}\sum_id_i\operatorname{Tr}(\hat{f}(\rho_i)\cdot\hat h(\rho_i)), $$ donde $f,h$ son dos funciones cualesquiera $G\to\Bbb C$. Otra ecuación es $$ \widehat{P\ast Q}(\rho) = \hat P(\rho)\cdot\hat Q(\rho). $$ Consejos o sugerencias son bienvenidas en calcular esto.

Answer 1

De hecho, se sigue inmediatamente de$$\sum_{s\in G}P(s)^2 = \frac{1}{|G|}$$ and Cauchy-Schwarz that $ P$ is uniform. Using the inner product $$\langle P,Q\rangle=\sum_{s\in G} P(s)\overline{Q(s)}$$ on $ \ mathbb {C} ^ G$, we have $ \ langle U, U \ rangle = \ frac {1} {| G |}$ and also $ \ langle P, U \ rangle = \ frac {1} {| G |}$ since $ P$ is a probability. The equation $ \ sum_ {s \ en G} P (s) ^ 2 = \ frac {1} {| G |}$ says that also $ \ langle P, P \ rangle = \ frac {1} {| G |}$. But by Cauchy-Schwarz, $$|\langle P,U\rangle|^2\leq \langle P,P\rangle\langle U,U\rangle$$ with equality iff $ P$ is a scalar multiple of $ U$. Since both sides are $ \ frac {1} {| G | ^ 2}$, equality does hold and so $ P$ is a scalar multiple of $ U$, and hence $ P = U $.