¿Es cada intervalo abierto una Unión de intervalos abiertos la mitad?

Question

Estoy leyendo límite inferior de la topología en la Wikipedia, que establece que el límite inferior de la topología

[...] es la topología generada por la base de todos los semi-abierta intervalos de $[a,b)$, donde a y b son números reales. [...] El límite inferior de la topología es más fino (tiene más abierto conjuntos) que el estándar de la topología en los números reales (la cual es generada por los intervalos abiertos). La razón es que cada intervalo abierto puede ser escrito como (countably infinito) de la unión de semi-abierta intervalos.

No puedo ver cómo escribir $(a,b)$ como countably infinito de la unión de semi-abierta intervalos.

Answer 1

Si $M = (a,b)\cap \mathbb{Q}$ y $$(a,b) = \bigcup _{c\in M} [c,b)$ $

Answer 2

$$(a,b) = \bigcup_{n=1}^\infty \, \left[\, \left (1-\frac {1} {n} \right) \, un + \frac{1}{n} b, \, b\right) $$

Answer 3

$$(a,b) = \bigcup \{[x,b): a < x < b \}$$

Cada $[x,b) \subseteq (a,b)$ siempre $a < x < b$ para el derecho a la izquierda de la inclusión, y por otro lado, si $a < x < b$, $x \in [x,b)$, la que se muestra a la izquierda a la derecha de la inclusión. Si desea una contables de la unión a toda costa (topologías son cerrados bajo todos los sindicatos, pero tal vez usted está haciendo teoría de la medida?) a continuación, tome $x$ a todos los racionales en $(a,b)$, por lo que

$$(a,b) = \bigcup \{[q,b): q \in \mathbb{Q} \text{ and } a < q < b\}$$

pero entonces la prueba de la igualdad es un poco más complicado: el derecho a la izquierda de la inclusión sigue siendo la misma, pero si $p \in (a,b)$ primer pick $q\ in \mathbb{Q}$$a < q < p$, y tenga en cuenta que $p \in [q,b)$ que es un subconjunto de la mano derecha.

Answer 4

Uno puede escribir

$$ (a, b) = \bigcup_{n\geq 1}\left[a+\frac{b-a}{2n},b\right) $$

Una inclusión es straighforward. Para el no trivial, recoger $t \in (a,b)$ y $n$ suficientemente grande tal que $t > a +\frac{b-a}{2n}$, que $t \in \left[a+ \frac{b-a}{2n},b\right)$.

Answer 5

Este es un ejemplo de una Unión de intervalos disjuntos:

$$ (a,b) = \bigcup_{n=1}^\infty\left[a+\frac{b-a}{n+1}, a+\frac{b-a}n\right) $$

¿Me pregunto, por qué nadie se presentó aún?