La pregunta de mi sobrino es esta: Si $a, b, c, d, e \in N^+$ y $a+b+c+d+e=a \times b \times c \times d \times e$ entonces, ¿cuál es el valor máximo posible de $a$ ? Gracias por adelantado:)
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alberta
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$5$ . Esto es claramente posible con $b=2$ , $c=d=e=1$ . Queda por demostrar que $b+c+d+e< 6(bcde-1)$ ou $6bcde>b+c+d+e+6$ . Sin embargo, no podemos tener $b=c=d=e=1$ Así que $bcde\ge 2$ y, por lo tanto, $3bcde\ge 6$ . Así pues, nos queda $3bcde>b+c+d+e$ . Suponiendo que $b$ es el número mayor, tenemos $b\ge 2$ Así que $\frac 32bcde\ge 3cde\ge c+d+e$ . Por fin, $\frac32bcde>b$ .
Lo siento, he omitido un posible caso. Editado.
Por prueba de contradicción, supongamos $1<a,b,c,d,e$ , dejemos que $a=1+x_a$ , $b=1+x_b$ etc. $$5+x_a+x_b+x_c+x_d+x_e=(1+x_a)(1+x_b)(1+x_c)(1+x_d)(1+x_e)$$ Expandiendo RHS, sabes que la igualdad anterior es imposible. Así que al menos un número es dígito $1$ .
Por lo tanto, $$5+x_a+x_b+x_c+x_d=(1+x_a)(1+x_b)(1+x_c)(1+x_d)$$ De nuevo ampliándolo, la igualdad no es cierta. Entonces hay dos cifras $1$ . Con el tiempo podrá reducirlo, $$5+x_a+x_b+x_c=(1+x_a)(1+x_b)(1+x_c)$$ $$4=x_ax_b+x_ax_c+x_bx_c+x_ax_bx_c$$ Puesto que suponemos $x_a,x_b,x_c\geq0$ las dos soluciones posibles son $(x_a,x_b,x_c)=(1,1,1),(4,1,0)$ . El valor máximo de $x_a$ es $4$ Así que $a$ puede ser $5$ . Ej. $a=5$ , $b=2$ , $c=d=e=1$ .
