Demostrar que la siguiente función es Riemann Integrable en $[0,1]$.

Question

Suponga que $f:[0,1] \to \mathbb{R}$ se define en $f(x) = 1$ cuando $x = \frac{1}{n}$ % entero positivo $n$y $f(x) = 0$ lo contrario. ¿Cómo puedo probar que $f$ es Riemann integrable en $[0,1]$?

Answer 1

He aquí una más elemental argumento. Nos muestran que por cada partición etiquetada $P$ $[0,1]$ de la norma en la mayoría de las $\varepsilon \gt 0$, la parte inferior y superior de las sumas de Riemann $L(f; P)$ $U(f;P)$ $f$ satisfacer $$ 0 \leqslant L(f, P) \leqslant U(f;P) \leqslant 2\sqrt{\varepsilon} . \etiqueta{1} $$ La integrabilidad de Riemann de $f$ sigue como una consecuencia. El límite inferior es obvio; nos muestran sólo el límite superior de $O(\sqrt{\varepsilon})$ aquí.

Fijar un parámetro de $t \in (0,1)$ (a determinar). Sin pérdida de generalidad Con una modesta pérdida de generalidad, supongamos que $t$ es los extremos de dos intervalos en $P$. [Lo dejo a la OP para eliminar esta suposición.] La estrategia es obligado que las contribuciones de los dos tipos de intervalos, de forma individual:

• Aquellos que caen a la izquierda de $t$ (es decir, aquellos que son un subconjunto de a $[0, t]$). La contribución de estos intervalos para la suma de Riemann es en la mayoría de las $t$, la longitud total de la parte izquierda (ya que la función es siempre acotada arriba por $1$ en magnitud).

• Aquellos que caen a la derecha de $t$ (es decir, aquellos que son un subconjunto de a $[t, 1]$). De todos los intervalos que, en la mayoría de las $1/t$ de ellos contienen un punto de la forma $1/n$. Por lo tanto, todos pero $1/t$ de ellos contribuyen a cero la suma de Riemann. Ya que cada uno de estos intervalos es de longitud en la mayoría de las $\varepsilon$, el total de la contribución de estos a la suma de Riemann es en la mayoría de las $\varepsilon \cdot \frac{1}{t} = \frac{\varepsilon}{t}$.

Sumando las dos contribuciones anteriores, tenemos que el total de la suma de Riemann es en la mayoría de las $t + \frac{\varepsilon}{t}$. Recogiendo $t = \sqrt{\varepsilon}$ a optimizar este límite superior, obtenemos $(1)$.

Answer 2

Las discontinuidades de la función están en el % de forma $x=\frac{1}{n}$. Utilizando la sugerencia dada por Sivaram Ambikasaran en los comentarios para construir intervalos de la cubierta, usted puede demostrar el conjunto

$$D=\left{x\in[0,1]:x=\frac{1}{n}\right}$$

tiene medida cero que satisface el criterio de integrabilidad de Lebesgue.