¿Aspecto inocente diofánticas ecuación de solución menor del orden $10^{50}$?

Question

Recientemente alguien mencionó a mí que hay una ecuación diofántica que parece muy simple e inocente, pero la solución más pequeña implica a un número de orden $10^{50}$ o algo así. La ecuación es probablemente en 1,2 o 3 varaibles. Tiene coeficientes bajos, probablemente todos 1 o 2. Y el grado es bajo, probablemente 4 o menos.

¿Hay tal una ecuación?

Edit: creo que la ecuación podría han sido estudiada por Fermat, pero no estoy seguro.

Answer 1

Es la solución más pequeña (en términos de altura de ingenuo) de $y^2=x^3+877x$

$$\left(\frac{375494528127162193105504069942092792346201}{6215987776871505425463220780697238044100},\frac{256256267988926809388776834045513089648669153204356603464786949}{490078023219787588959802933995928925096061616470779979261000}\right)$$

Este es un ejemplo de Bremner y Cassels. Por lo tanto, la solución más pequeño de $ZY^2=X^3+877XZ^2$ es $$(29604565304828237474403861024284371796799791624792913256602210,256256267988926809388776834045513089648669153204356603464786949,490078023219787588959802933995928925096061616470779979261000).$ $ es de la coordenada de $X$ $>2\cdot 10^{61}$.

Answer 2

Aquí es un comentario general sobre el mecanismo detrás de este fenómeno. Por Matiyasevich del teorema, el problema de determinar si una ecuación Diophantine tiene una solución es indecidible. Esto implica que no es posible dar una computable a priori límite en el tamaño de las soluciones a una ecuación de Diophantine (puesto que, dado un obligado, podríamos resolver Diophantine ecuaciones mediante la comprobación de todas las soluciones hasta el límite), por lo que se deduce que el tamaño de la más pequeña de la solución a una ecuación de Diophantine excede cualquier función computable de la ecuación de Diophantine.

Answer 3

He aquí un monstruo. El entero más pequeño que la solución,de

$$(x + a)^7 + (x - a)^7 + (2x + b)^7 + (2x - b)^7 + \\(-x - c)^7 + (-x + c)^7 + (-2x - d)^7 + (-2x + d)^7 \\= 14^7(a^6 + 2b^6 - c^6 - 2d^6)^7$$

ha $x$$\color{red}{1179\; \text{digits}}$. Las variables$a,b,c,d$,

$$292565171139318137956759657471297,\\ 863420822620431936290192229011966,\\ 534407060429869176086407612538177,\\ 859793943610761912321826231621886$$

y

$$\small{x =4815633048654305166824238437234655751231770457546838105517001356754907195927702\dots \approx \color{red}{4.81 \times 10^{1178}}}$$

Ajai Choudhry encontrado esta utilizando una curva elíptica, lo que puede explicar los valores de gran tamaño.