Supongamos que tengo una serie de potencias$\sum_{k=0}^\infty a_k z^k$ con un radio de convergencia$0<R<\infty$. ¿Qué se puede decir topológicamente sobre el conjunto$\{z\in\Bbb C\mid |z|=R\,\mbox{ and }\sum_{k=0}^\infty a_k z^k \mbox{ converges}\}$? ¿Es posible que haya un punto aislado? ¿Es posible que converja solo por un punto en el límite del círculo? ¡Gracias!
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Tutul
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Yo creo que este problema no ha sido resuelto completamente.
En 1922, Mazurkiewicz demostraron que cada cerrados y cada conjunto abierto en la frontera es un conjunto de convergencia. Esta se asienta su pregunta en particular. (Lo voy a pensar un poco acerca de un ejemplo concreto, y editarlo en si y me encuentro con uno.)
En 1948, Herzog y Piranian fortalecido esto para mostrar que todos los $F_\sigma$ set es un conjunto de convergencia. Por otro lado, Lukasenko (1978) dio un ejemplo de una $G_\delta$ establece que es no un conjunto de convergnce.
(No es demasiado duro para demostrar que cada conjunto de convergencia tiene que ser un $F_{\sigma\delta}$, esto es cierto incluso para el conjunto de puntos donde cualquier secuencia de funciones continuas convergen pointwise.)
Referencias
- Mazurkiewicz, S., Sur les séries de puissances, Fondo. Matemáticas, 3 (1922), 52-58
- Herzog, F., Piranian, G., los Conjuntos de la convergencia de series de Taylor. I., Duque De Matemáticas J., 16 (1949), 529-534.
- Lukašenko, S. Ju., Conjuntos de divergencia y nonsummability para trigonométrica de la serie, Vestnik Moskov. Univ. La Ser. Me Mat. Mekh. De 1978, no. 2, 65-70.
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Resulta que esta pregunta fue planteada en Matemáticas de desbordamiento con una larga y exhaustiva respuesta. Ver también esta pregunta.
Joe Gauterin
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Sí, es posible para una potencia de la serie a converger en puntos aislados de su "círculo" de la convergencia.
Lusin ha construido un poder de serie $f(z)$ con radio de convergencia 1 pero $\lim_{n\to\infty} a_n z^n$ diverge a $\infty$ por cada $z$ sobre el círculo unidad. Más tarde, Sierpinkski modificado Lusin el ejemplo para crear un poder de la serie que converge en $z = 1$ pero diverge en todos los otros puntos del círculo unitario.
Para un entero positivo $m$, vamos a $g_m(z) = \sum_{k=0}^{m-1} z^k = \frac{1-z^m}{1-z}$ y $h_m(z) = \sum_{k=0}^{m=1} z^{mk} g_m(e^\frac{-2\pi i k}{m} z)$. $g_m(z)$ es un polinomio de grado $m-1$ $h_m(z)$ es uno con grado de $m^2-1$. Lusin $f(z)$ está definido por: $$ f(z) = \sum_{n=0}^\infty a_n z^n = \sum_{m=1}^{\infty}m^{-1/2} z^\frac{2m^3 - 3m^2+m}{6} h_m(z) $$ y Sierpinkski la modificación viene dada por: $$ g(z) = (1-z)f(z^2) = \sum_{i=0}^{\infty} (-1)^r a_{[\frac{r}{2}]} z^r $$
He copiado estos ejemplos en el libro:
North-Holland Mathematics Studies (Vol 208)
Nine introductions in Complex Analysis
Sanford L. Segal
Por favor, consulte a su Carta de 6 De límites Naturales para obtener más detalles.
