Cómo demostrar que $\lim\limits_{n \to \infty} \frac{k^n}{n!} = 0$

Question

Hace poco se me ocurrió, cómo demostrar que el factorial crece más rápido que la exponencial, o que la lineal crece más rápido que la logarítmica, etc.

Pensé en escribir: $$ a(n) = \frac{k^n}{n!} = \frac{ k \times k \times \dots \times k}{1\times 2\times\dots\times n} = \frac k1 \times \frac k2 \times \dots \times \frac kn = \frac k1 \times \frac k2 \times \dots \times \frac kk \times \frac k{k+1} \times \dots \times \frac kn $$ Es obvio que después de k/k, cada factor es menor que 1, y al aumentar n, k/n se acerca a 0, como si tuviéramos $\lim_{n \to \infty} (k/n) = 0$ para cualquier constante $k$ .

Pero, creo que esto no es una prueba clara... así que se acepta cualquier indicio. Gracias por la consideración.

Answer 1

Por supuesto, se puede romper la prueba de la proporción para demostrar que la serie $\sum\limits_{n=1}^\infty \frac{k^n}{n!}$ converge (absolutamente) y por lo tanto $\lim\limits_{n\rightarrow\infty}\frac{k^n}{n!}=0$ .

Sin embargo, no tenemos que usar armas nucleares. Claramente, $a_n=\frac{k^n}{n!}$ está limitada por debajo de cero. Si $n\geq k$ (o, si $k$ no es un número entero, $n\geq \lceil k \rceil$ ), tenemos

$a_{n+1}=\frac{k^{n+1}}{(n+1)!}=\frac{k^n}{n!}\frac{k}{n+1}<\frac{k^n}{n!}=a_n$ .

Por lo tanto, como la secuencia $\{a_n\}$ es eventualmente decreciente y acotado por debajo, converge.

Para demostrar que converge a cero, se puede utilizar el método de Patrick Da Silva anterior.

Answer 2

He aquí otra observación. Fijar $k$ . Ya que está tratando de encontrar el límite como $n\to \infty$ puede suponer que $n > k$ . Entonces tienes

$$ \frac{k^n}{n!} = \frac k1 \cdot \frac k2 \cdots \cdot \frac kk \cdot \frac k{k+1} \cdots \frac kn = c \frac k{k+1} \cdots \frac kn$$

donde $c = k^k/k!$ es una constante independiente de $n$ . A continuación, para $1\leq i \leq n-k$ tenemos

$$\frac{k}{k+i} \leq \frac{k}{k+1}.$$

Por lo tanto,

$$c \frac k{k+1} \frac k{k+2} \cdots \frac kn \leq c \underbrace{\frac k{k+1} \frac{k}{k+1}\cdots \frac{k}{k+1}}_{n-k \text{ times}} = \left(\frac{k}{k+1}\right)^{n-k}.$$

¿Qué probaría usted a continuación?

Answer 3

Observemos un ejemplo:

$$\frac{9^n}{n!}$$ por lo que tenemos que :

$$\frac{9^1}{1!}=9 , \frac{9^2}{2!}=40.5 , \frac{9^3}{3!}=121.5$$

pero...

$$\frac{9^9}{9!}=\frac{9^8\cdot 9}{8! \cdot 9}=\frac{9^8}{8!}$$

y además...

$$\frac{9^{10}}{10!}=\frac{9^9\cdot 9}{9! \cdot 10} < \frac{9^9}{9!}$$

Así que podemos concluir: después de tirar la primera $k-1$ elementos que la secuencia comienza a disminuir , por lo tanto la secuencia :

$$\frac{k^n}{n!}$$

es decreciente si fijamos $ n\geq k$ por lo que podemos concluir que :

$$n \rightarrow \infty \Rightarrow \frac{k^n}{n!} \rightarrow 0$$