Cómo demostrar que $\lim\limits_{n \to \infty} \frac{k^n}{n!} = 0$

Question

Hace poco se me ocurrió, cómo demostrar que el factorial crece más rápido que la exponencial, o que la lineal crece más rápido que la logarítmica, etc.

Pensé en escribir: $$ a(n) = \frac{k^n}{n!} = \frac{ k \times k \times \dots \times k}{1\times 2\times\dots\times n} = \frac k1 \times \frac k2 \times \dots \times \frac kn = \frac k1 \times \frac k2 \times \dots \times \frac kk \times \frac k{k+1} \times \dots \times \frac kn $$ Es obvio que después de k/k, cada factor es menor que 1, y al aumentar n, k/n se acerca a 0, como si tuviéramos $\lim_{n \to \infty} (k/n) = 0$ para cualquier constante $k$ .

Pero, creo que esto no es una prueba clara... así que se acepta cualquier indicio. Gracias por la consideración.

Answer 1

La serie para $e^k$ $$ \sum_{n=0}^\infty\frac{k^n}{n!} $$ converge por el prueba de relación . Los términos de una serie convergente deben tender a $0$ .

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Para $n\ge2k$ la relación de términos es $\frac{k^{n+1}/(n+1)!}{k^n/n!}=\frac{k}{n+1}<\frac{1}{2}$ . Podemos eliminar la referencia a la serie (que parece haber molestado a alguien) con el siguiente bocadillo, válido para $n\ge2k$ : $$ 0\le\frac{k^n}{n!}\le\frac{k^{2k}}{(2k)!}\left(\frac{1}{2}\right)^{n-2k} $$ que muestra que $\displaystyle\lim_{n\to\infty}\frac{k^n}{n!}=0$ .

Answer 2

Su prueba es clara para mí. $k$ es fija, por lo que el lado derecho de su ecuación, para $n>k$ tiene la forma $$ {k\over n}\cdot\underbrace{{k\over n-1}\cdot{k\over n-2}\cdots{k\over k}}_{<1}\cdot C< {k \over n}\cdot C\rightarrow 0 $$

Answer 3

Si sabe que este límite existe, tiene $$ \lim_{n \to \infty} \frac{k^n}{n!} = \lim_{n \to \infty} \frac{k^{n+1}}{(n+1)!} = \lim_{n \to \infty} \frac k{n+1} \frac{k^n}{n!} = \left(\lim_{n \to \infty} \frac k{n+1} \right) \left( \lim_{n \to \infty} \frac {k^n}{n!} \right) = 0. $$ ¿Se te ocurre una forma corta de mostrar que el límite existe? (Necesitas la existencia para justificar mi factorización de los límites al final. Si no tienes eso entonces no hay razón para que la igualdad se mantenga).

Answer 4

Probablemente no sea el tipo de solución que buscas, pero sólo por diversión:

Es fácil demostrar que $\frac{n!^{1/n}}{n} \to e^{-1}$ como $n \to \infty$ . (Por ejemplo, escriba $\int_0^1 \log t\: dt$ como límite de las sumas de Riemann en las particiones $0,1/n,2/n, \dots, 1))$ .

Así, por el prueba de raíz ,

$$\sum_{n=0}^\infty \frac{k^n}{n!}$$

converge. Por lo tanto, $\lim_{n \to \infty} \frac{k^n}{n!} = 0$ .

Answer 5

Como ha mencionado @robjohn, esta pregunta es efectivamente muy similar a Demostrar que $\lim \limits_{n \to \infty} \frac{x^n}{n!} = 0$ , $x \in \Bbb R$ . la única cuestión es quién va a hacer el papel de $7$ en nuestro caso ( $7$ es el número más pequeño para el que $7!>(2+1)^7$ ). La prueba general es la siguiente: demostremos primero que para cualquier $j\in\mathbb N$ sostiene que $n!\geq j^n$ para todos $n$ lo suficientemente grande.

1. En primer lugar, pongamos $N = j^2+j$ entonces $$ \frac{N!}{j^N} = \underbrace{\frac1j\cdot\frac2j\cdot\dots\cdot\frac jj}_{\pi_1}\cdot\underbrace{\frac{j+1}{j}\cdot\dots\cdot\frac{j^2}j}_{\pi_2}\cdot\underbrace{\frac{j^2+1}{j}\cdot\dots\cdot\frac{j^2+j}j}_{\pi_3}. $$ Ahora, $\pi_2\geq 1$ ya que todos los términos del producto son mayores que $1$ . Además, multiplicando los términos correspondientes $$ \pi_1\pi_3 = \frac{j^2+1}{j^2}\cdot\frac{2(j^2+2)}{j^2}\cdot\dots\cdot\frac{j(j^2+j)}{j^2}\geq1 $$ por lo que $N!\geq j^N$ .

2. Para todos $n\geq N$ ahora se sostiene claramente que $n!\geq j^n$ . Por inducción: se cumple para $n=N$ . Si se mantiene para algunos $n$ entonces $$ (n+1)!\geq n!\cdot n\geq j^n\cdot n\geq j^{n+1} $$ desde $n\geq N\geq j$ .

Demostramos que para cualquier $j\in\mathbb N$ hay $N(j)$ s.t. $n\geq N(j)\Rightarrow n!\geq j^n$ . Ahora pongamos $j=[k]+1$ entonces $$ 0\leq\lim\limits_{n\to\infty}\frac{k^n}{n!}\leq \lim\limits_{n\to\infty}\left(\frac k{[k]+1}\right)^n = 0. $$