Pregunta sobre una prueba de$\mathbb{Z}[i]/(2+i)\cong \mathbb{Z}/5\mathbb{Z}$

Question

Prueba:

Desde $\mathbb{Z}[i]\cong \mathbb{Z}[x]/(x^2+1)$, donde $i$ $x$ corresponden,

tenemos: $\mathbb{Z}[i]/(2+i)\cong \mathbb{Z}[x]/(x^2+1,2+x)$.

En ese anillo, ya que $x=-2$, $x^2+1=5$, y

$\mathbb{Z}[x]/(x^2+1,2+x)\cong \mathbb{Z}[x]/(5,2+x)\cong (\mathbb{Z}/5\mathbb{Z})[x]/(2+x)\cong \mathbb{Z}/5\mathbb{Z}$,

desde $x=-2$ está en el anillo cociente.

Fuente: problema 1b en https://sites.math.washington.edu/~sullivan/4034s_wi13.pdf

Mis preguntas:

- ¿Qué se entiende por $i$ $x$ corresponden? ¿Por qué es $\mathbb{Z}[i]/(2+i)$ isomorfo a $\mathbb{Z}[x]/(x^2+1,2+x)$. ¿Por qué es bien reemplace$i$$x$? Entiendo la $\mathbb{Z}[i]\cong \mathbb{Z}[x]/(x^2+1)$ part.

- ¿Por qué es $(\mathbb{Z}/5\mathbb{Z})[x]/(2+x)$ isomorfo a $\mathbb{Z}/5\mathbb{Z}$? T intentado pero no puedo encontrar un homomorphism cuyo núcleo sería $(2+x)$.

Gracias de antemano!

Answer 1

• $i$ es la solución a la ecuación$x^2+1=0$. Cuando consideras$\mathbb{Z}[x]$ y mod por el ideal$(x^2+1)$, estás creando un nuevo anillo en el que$x^2+1=0$, es decir, estás diciendo que$x$ satiesfies$x^2+1=0$, por lo que$x$ corresponde a$i$.

• $\mathbb{Z}[i]/(i+2)\cong\frac{\mathbb{Z}[x]}{(x^2+1)}/(x+2)\cong\mathbb{Z}[x]/(x^2+1,x+2)$

• Modificando por$(x+2)$, significa que estás formando un nuevo anillo en el que$x=-2$, pero$-2$ ya está dentro de$\mathbb{Z}_5$, por lo que no obtienes nada nuevo.

Answer 2

Para su segunda pregunta: ¿qué hay de

ps

Este es solo el homomorfismo de evaluación (¡es un homomorfismo de anillo!), Y su núcleo es el conjunto (ideal, de hecho) de todos los polinomios en$$\phi:\Bbb Z/5\Bbb Z[x]\to\Bbb Z/5\Bbb Z\;,\;\;\phi(p(x)):=p(-2)\;\;?$ que desaparecen en$\;\Bbb Z/5\Bbb Z[x]\;$ ...