¿Hay alguna ecuaciones matemáticas feas que tienen implicaciones de gran alcance?

Question

A menudo hablamos de la belleza matemática y cómo se acaban de describir patrones increíbles o fenómenos. Pero ¿hay alguna ecuaciones matemáticas que son extremadamente no-trivial y feo que tienen fuertes aplicaciones en el mundo real?

Edit: me di cuenta de que para obtener las respuestas adecuadas, debo definir la palabra "feo". Una ecuación que se dice ser fea si se cumple una o varias de las condiciones

1) Gran Número de Variables.

2) Describe un trivial de los fenómenos no trivial de la forma.

3) Se derivan de la utilización de una aproximación de fuerza bruta.

Answer 1

La ecuación de 8 línea totalmente asqueroso encontrada aquí es lo que pasa cuando construyes un Lagrangiano para el modelo estándar de física.

Answer 2

No estoy seguro de si esto califica como "de gran alcance", pero las soluciones para el general de cuarto grado (grado $4$) de la ecuación es bastante desagradable, en mi opinión.

Esta página describe la solución, pero no en realidad el estado de una fórmula explícita.

Yo consideraría una gran problema, ya que la resolución demuestre el poder y las limitaciones de los principios de álgebra y conduce al estudio de la teoría de grupo, específicamente Abel y Galois de trabajo en la insolubilidad de la quintic.

Answer 3

Creo que la solución general para el polinomio cúbico raíces ciertamente cuenta.

[portada de Wikipedia]

$$x_1 = -\frac1{3a}\left(b+\sqrt[3]{\frac{2b^3 - 9abc + 27a^2d + \sqrt{(2b^3 - 9abc + 27a^2d)^2 - 4(b^2-3ac)^3}}{2}}+\frac{b^2-3ac}{\sqrt[3]{\frac{2b^3 - 9abc + 27a^2d + \sqrt{(2b^3 - 9abc + 27a^2d)^2 - 4(b^2-3ac)^3}}{2}}}\right)$$

$$x_2 = -\frac1{3a}\left(b+\frac{-1+i\sqrt{3}}{2}\sqrt[3]{\frac{2b^3 - 9abc + 27a^2d + \sqrt{(2b^3 - 9abc + 27a^2d)^2 - 4(b^2-3ac)^3}}{2}}+\frac{b^2-3ac}{\frac{-1+i\sqrt{3}}{2}\sqrt[3]{\frac{2b^3 - 9abc + 27a^2d + \sqrt{(2b^3 - 9abc + 27a^2d)^2 - 4(b^2-3ac)^3}}{2}}}\right)$$

$$x_3 = -\frac1{3a}\left(b+\frac{-1-i\sqrt{3}}{2}\sqrt[3]{\frac{2b^3 - 9abc + 27a^2d + \sqrt{(2b^3 - 9abc + 27a^2d)^2 - 4(b^2-3ac)^3}}{2}}+\frac{b^2-3ac}{\frac{-1-i\sqrt{3}}{2}\sqrt[3]{\frac{2b^3 - 9abc + 27a^2d + \sqrt{(2b^3 - 9abc + 27a^2d)^2 - 4(b^2-3ac)^3}}{2}}}\right)$$

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Otros posibles candidatos:

• el PDF de la distribución normal multivariante (ciertamente feo suficiente con que nosotros evitar que se presenten en la introducción de cursos, y me imagino que el porcentaje de personas que saben lo que la "curva de campana" es intuitivamente, pero no tiene la más mínima de esta fórmula, que es bastante grande). No horrible, pero sin duda es omnipresente:

$$\varphi(x; \mu, \Sigma, k) = \frac1{\sqrt[k]{2\pi}}|\Sigma|^{-\frac12}e^{-\frac12(x-\mu)^T\Sigma^{-1}(x-\mu)}$$

• Rademacher, partición del conteo de aproximación (relevante para todo tipo de equipo científico cosas como la teoría de grafos):

$$p(n) = \frac1{\pi\sqrt{2}}\sum_{k=1}^{\infty}\sqrt{k}A_k(n)\frac{d}{dn}\left(\frac1{\sqrt{n-\frac1{24}}}\sinh\left[\frac{\pi}{k}\sqrt{\frac23\left(n-\frac1{24}\right)}\right]\right)$$

$$A_k(n) = \sum_{0\leq m<k; (m, k) = 1}e^{\pi i\left[s(m, k) - \frac{2nm}{k}\right]}$$

Answer 4

La siguiente ecuación es una expresión del hecho de que la multiplicación de matrices es asociativa: \begin{eqnarray*} \sum_{j=1}^{m}\left[a_{ij}\left(\sum_{k=1}^{n}b_{jk}c_{kl}\right)\right] & = & \sum_{k=1}^{n}\left[\left(\sum_{j=1}^{m}a_{ij}b_{jk}\right)c_{kl}\right] \end{eqnarray*}

• Sin duda es de largo alcance; la matriz de los cálculos se llevan a cabo constantemente.
• Hasta donde yo sé, es por lo general 'derivados' simplemente por escribir la suma de la izquierda y volver a escribir como la suma de la derecha ('fuerza bruta').
• Hacer las entradas de las matrices cuenta como variables? Si es así, no implica un montón de variables.
• Puede ser re-expresadas como simplemente esto: $(f\circ g)\circ h = f\circ(g\circ h)$ donde $f,g,h$ son transformaciones lineales entre el vector adecuado de los espacios.

Yo diría (y, de hecho, sus criterios parecen estar de acuerdo) que la ecuación anterior es "feo". Sin embargo, el cuarto punto es importante: por lo general, cosas feas pueden ser reescrita en la más elegante (aunque, en algunas situaciones, menos útil) maneras.

Otro ejemplo que ilustra este último punto especialmente bien es la definición del determinante de una matriz. La definición habitual que los estudiantes son introducidos a es como un horrible suma que implican cofactores etc., en lugar de la más elegante de vista simplemente como el volumen de factor de escala de la unidad de cubo (con un par de términos y condiciones).