Demuestre que para cualquier entero positivo $n$ hay $x \in [0,1-\frac{1}{n}]$ para lo cual $f(x) = f(x+\frac{1}{n})$

Question

Supongamos que $f$ es una función continua sobre $[0,1]$ tal que $f(0) = f(1).$ Demuestre que para cualquier entero positivo $n$ hay $x \in [0,1-\frac{1}{n}]$ para lo cual $f(x) = f(x+\frac{1}{n})$ .

Parece que estamos diciendo que $f(x+\frac{1}{n})$ es periódica con respecto a cualquier número entero positivo $n$ . Además esto parece tener sentido ya que empezamos y terminamos en el mismo punto tiene que haber valores de $x$ con el mismo $f(x)$ como otros $x$ 's. Pero me cuesta ver cómo demostrar esta afirmación concreta.

Answer 1

Considere $g(x) = f(x) - f(x+\frac{1}{n})$ . Queremos demostrar que $g(x) = 0$ para algunos $x\in [0,1-\frac{1}{n}]$ . Considere los valores $g(0), g(1/n), g(2/n), \ldots, g(1-1/n)$ . Al menos uno de estos valores debe ser negativo y al menos uno debe ser positivo (si uno es cero, hemos terminado). En caso contrario, todos son positivos o todos son negativos. Pero el primer caso significaría $f(0) > f(1/n) > f(2/n) > \cdots > f(1-1/n) > f(1)$ lo cual es falso, y el segundo caso significaría $f(0) < f(1)$ . Así, uno de los valores es positivo y otro negativo, y por tanto por continuidad $g(x) = 0$ para algunos $x$ en el intervalo dado.