Definiciones de una incrustación adecuada

Question

He visto que la palabra "apropiado" se refiere a dos nociones aparentemente diferentes en varios contextos.

1. Un mapa continuo es propio si las preimágenes de los conjuntos compactos son compactas.
2. Un mapa continuo entre variedades $f:M \to N$ es adecuada si respeta los límites, es decir $f^{-1}(\partial N) = \partial M$ .

¿Se trata de un caso desafortunado de notación incoherente o estas nociones coinciden en algunos contextos?

Answer 1

Me interesaría saber dónde has visto la segunda definición. Como ha dicho Thomas, las dos definiciones no son en absoluto equivalentes. Sin embargo, hay una cierta relación estrecha entre ellas, lo que podría explicar lo que alguien tenía en mente al introducir la segunda definición.

Lema. Supongamos que $M$ y $N$ son variedades topológicas con límite, y $f\colon M\to N$ es un mapa continuo. Si $f$ restringe a un mapa propio de $\operatorname{Int} M$ a $\operatorname{Int} N$ (en el sentido de que las preimágenes de conjuntos compactos son compactas), entonces $f^{-1}(\partial N)=\partial M$ .

Prueba: Supongamos que $f$ restringe a un mapa propio de $\operatorname{Int} M$ a $\operatorname{Int} N$ y que $g\colon \operatorname{Int} M\to \operatorname{Int} N$ denota el mapa restringido. Para demostrar que $f^{-1}(\partial N)=\partial M$ Supongamos primero que $x\in f^{-1}(\partial N)$ lo que significa que $f(x)\in \partial N$ . Si $x$ estaban en $\operatorname{Int} M$ entonces nuestra hipótesis implicaría $f(x)\in \operatorname{Int} N$ que es disjunta de $\partial N$ por lo que debemos tener $x\in \partial M$ .

Por el contrario, supongamos que $x\in \partial M$ y asumir para la contradicción que $x\notin f^{-1}(\partial N)$ . Esto significa que $f(x)\in \operatorname{Int} M$ . Sea $B$ sea una bola de coordenadas precompacta centrada en $f(x)$ y completamente contenida en $\operatorname{Int} N$ . Hay una secuencia de puntos $x_i \in \operatorname{Int} M$ tal que $x_i \to x$ en $M$ . Desde $f$ es continua, $f(x_i)\to f(x)$ y, por lo tanto, descartando un número finito de términos en la secuencia, podemos suponer que $f(x_i)\in B\subseteq \overline B$ para todos $i$ . Esto significa que todos los $x_i$ 's lie in the set $f^{-1}(\overline B)\cap \operatorname{Int} M = g^{-1}(\overline B) $ que nuestra hipótesis garantiza que es compacta. Por lo tanto, el punto $x = \lim_{i\to\infty} x_i$ también debe estar en este conjunto compacto, lo cual es una contradicción porque $x\notin\operatorname{Int} M$ . $\square$

Sin embargo, hay que tener en cuenta que lo contrario no es cierto: si tomamos $M=(0,1]$ , $N=[-1,1]$ et $f\colon M\to N$ sea el mapa de inclusión, entonces $f^{-1}(\partial N) = \partial M$ pero la restricción de $f$ a $(0,1)$ no es un mapa propio de $(0,1)$ a $(-1,1)$ .

Editar: Mike Miller señaló que un contexto típico en el que se utiliza la segunda definición es cuando todo lo que se ve es compacto. En ese caso, la definición (2) es equivalente a la restricción de $f$ al ser interior propio. De hecho, sólo la compacidad de $M$ asuntos.

Lema. Supongamos que $M$ y $N$ las variedades topológicas con límite, y $f\colon M\to N$ es un mapa continuo. Si $M$ es compacto y $f^{-1}(\partial N) = \partial M$ entonces $f$ restringe a un mapa propio de $\operatorname{Int} M$ a $\operatorname{Int} N$ .

Prueba: Supongamos que $M$ es compacto y $f^{-1}(\partial N) = \partial M$ . Primero tenemos que demostrar que $f(\operatorname{Int} M)\subseteq \operatorname{Int} N$ . Esto se desprende de \begin{align*} x\in \operatorname{Int} M & \implies x\notin \partial M\\ & \implies x\notin f^{-1}(\partial N)\\ & \implies f(x)\notin \partial N\\ & \implies f(x)\in \operatorname{Int} N. \end{align*}

Dejemos que $g$ denota el mapa restringido de $\operatorname{Int} M$ a $\operatorname{Int} N$ . Supongamos que $K\subseteq \operatorname{Int} N$ es compacto. Como todo mapa continuo de un espacio compacto a un espacio de Hausdorff es propio, $f^{-1}(K)$ es un subconjunto compacto de $M$ . Si podemos demostrar que $f^{-1}(K)\subseteq \operatorname{Int} M$ se deduce entonces que $f^{-1}(K) = g^{-1}(K)$ y por lo tanto $g$ es apropiado. Tenemos \begin{align*} x\in f^{-1}(K) & \implies x\in f^{-1}(\operatorname{Int} N)\\ & \implies x\notin f^{-1}(\partial N)\\ & \implies x\notin \partial M\\ & \implies x\in \operatorname{Int} M. \end{align*} Esto completa la prueba. $\square$

Answer 2

Nunca me encontré con la segunda definición, pero es bastante obvio que las dos definiciones no coinciden (considere una de las coberturas obvias de $\mathbb{R}^+\times \mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}^+\times S^1 $ Por ejemplo $(x, t) \mapsto (x, e^{it})$ , donde $ \mathbb{R}^+ := \{x\in\mathbb R| x \ge 0\}$ para ver que lo segundo no implica lo primero)

No es inusual en Matemáticas que un término se utilice con dos significados diferentes -- un ejemplo típico es el uso del término mapa acotado en espacios métricos frente al término en el contexto de, por ejemplo, mapas lineales entre espacios de Banach. Esto tiene, por lo general, razones históricas.

Answer 3

Como complemento a la respuesta de Thomas, para ver que lo primero tampoco implica lo segundo, considere un mapa constante de $\overline{B}^2$ a $\overline{B}^2$ que no se ajusta a los límites. Esto es correcto en el primer sentido, pero no en el segundo.