¿Cuántos enteros positivos menores de 1.000.000 tienen la suma de sus dígitos igual a 19?

Question

¿Cuántos números enteros positivos menos que $1,000,000$ tienen la suma de sus dígitos igual a $19$ ?

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Traté de responder usando el método combinatorio de estrellas y barras.

La pregunta dice que la suma de $6$ números de dígitos { considerando el número como $abcdef$ es de 19.

Por lo tanto, puedo escribirlo como $a + b + c + d + e + f = 19$ pero esto supone que $a,b,c,d,e,f >= 0$ .

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Pero, aquí cada dígito se encuentra entre el 0 y el 9. Entonces, ¿cómo se modificará el método de las estrellas y barras de acuerdo con este dominio?

Answer 1

Si tratamos cada entero positivo con menos de seis dígitos como una cadena de seis dígitos con ceros a la izquierda, buscamos el número de soluciones de la ecuación $$a + b + c + d + e + f = 19 \tag {1}$$ en los números enteros no negativos sujetos a las restricciones que $a, b, c, d, e, f \leq 9$ . Una solución particular de la ecuación 1 corresponde a la colocación de cinco signos de suma en una fila de $19$ de los que Por ejemplo, $$1 1 1 + 1 1 + 1 1 1 1 + 1 1 1 1 1 1 + + 1 1 1 1$$ corresponde a la solución $a = 3$ , $b = 2$ , $c = 4$ , $d = 6$ , $e = 0$ y $f = 4$ . Por lo tanto, si no hubiera tales restricciones, el número de soluciones sería igual al número de formas en que podemos insertar cinco signos de adición en una fila de $19$ que es $$ \binom {19 + 5}{5} = \binom {24}{5}$$ ya que debemos elegir cuál de los cinco $24$ (cinco signos de adición y diecinueve) son signos de adición.

Sin embargo, hemos contado las soluciones en las que una o más de las variables exceden $9$ . Sólo puede haber una variable de este tipo, ya que $2 \cdot 10 = 20 > 19$ . Debemos excluir las soluciones en las que una de las variables excede $9$ .

Contamos el número de soluciones en las que $a > 9$ . Desde $a$ es un número entero, entonces $a \geq 10$ . Por lo tanto, $a' = a - 10$ es un entero no negativo. Sustituye a $a' + 10$ para $a$ en la ecuación 1 da lugar a \begin {alineado*} a + b + c + d + e + f & = 19 \\ a' + 10 + b + c + d + e + f & = 19 \\ a' + b + c + d + e + f & = 9 \tag {2} \end {alineado*} La ecuación 2 es una ecuación en los números enteros no negativos. Por consiguiente, el número de soluciones de la ecuación 1 en la que $a > 9$ es $$ \binom {9 + 5}{5} = \binom {14}{5}$$ Por simetría, hay $$ \binom {14}{5}$$ soluciones para cada una de las seis variables que podrían superar $9$ . Por lo tanto, el número de números enteros positivos inferiores a $1,000,000$ con la suma de dígitos $19$ es $$ \binom {24}{5} - \binom {6}{1} \binom {14}{5}$$

Answer 2

Nota - 1.000.000 tiene suma de dígitos = 1.

Entonces se trata de números entre 1 - 999,999.

Asignemos un alfabeto para cada dígito.

u+v+w+x+y+z=19 tiene 24C5= 42504

si u=10 entonces v+w+x+y+z =9 tiene 13C4 = 715

si u=11 entonces v+w+x+y+z =8 tiene 12C4 =495

si u=12 entonces v+w+x+y+z =7 tiene 11C4=330

si u=13 entonces v+w+x+y+z =6 tiene 10C4=210

si u=14 entonces v+w+x+y+z =5 tiene 9C4=126

si u=15 entonces v+w+x+y+z =4 tiene 8C4=70

si u=16 entonces v+w+x+y+z =3 tiene 7C4=35

si u=17 entonces v+w+x+y+z =2 tiene 6C4=15

si u=18 entonces v+w+x+y+z=1 tiene 5C4=5

si u=19 entonces v+w+x+y+z=0 tiene 4C4=1

El total es = 2002 para u>10

Ahora, cualquier u, v, w, x, y, z puede ser más de 10.

Por lo tanto, 2002 x 6 = 12012

Entonces, respuesta = 42504 - 12012 = 30492

La respuesta será 30492.

Answer 3

El número es  $<$ $1000000$ , 

$\Rightarrow$ contiene 6 dígitos. Cada uno de estos dígitos puede ser uno de los siguientes $0,1,2,3....9$

$\Rightarrow$ el problema se reduce a la no de solución integral de la siguiente ecuación

$d_1+d_2+d_3+d_4+d_5+d_6 = 19$ donde  $0\leq d_i \leq 9$

Uso de la función generadora :

$$\begin{align*} & \ \ \ \left [ x^{19} \right ]\left ( 1+x+x^2+x^3+....+x^9 \right )^{6} \\ &=\left [ x^{19} \right ]\left [ \frac{1-x^{10}}{1-x} \right ]^{6}\\ &=\left [ x^{19} \right ]\left ( 1-x^{10} \right )^{6}. \sum_{r=0}^{\infty}\binom{5+r}{r}.x^{r} \\ &=\left [ x^{19} \right ]\left [ \sum_{r=0}^{6}.\binom{6}{r}.\left ( -x^{10} \right )^{r} \right ]. \left [ \sum_{r=0}^{\infty}\binom{5+r}{r}.x^{r} \right ] \\ &=\left ( -1 \right )^{0}*\binom{24}{19} + \left ( -1 \right )^{1}*6*\binom{14}{9} \\ &=30492\\ \end{align*}$$

NOTA:

1.  $1+x+x^2+x^3+.....x^n = \frac{1-x^{n+1}}{1-x}$

2.  $\frac{1}{(1-x)^n} = \sum_{r=0}^{\infty}\binom{n+r-1}{r}.x^r$

3.  $\left [ x^{19} \right ]$ significa coeficiente de  $x^{19}$ de toda la expresión.

Answer 4

Añade uno a cada uno de los $a,b,c,d,e,f$ y hacer la suma $25$ . Todas las nuevas variables tienen que ser positivas. Todavía tienes que preocuparte por el hecho de que ninguna de las nuevas variables puede superar $10$