ejemplo de un subconjunto de una variedad lisa que admite una estructura lisa única que hace que la inclusión sea una inmersión, que no es una incrustación débil.

Question

Un subconjunto $S$ de un buen colector $M$ se llama débilmente incrustado submanifold (al menos en Lee) si se admite una suave estructura de decisiones de la inclusión de una inmersión, y tal que para cualquier otro liso colector $N$, un mapa de $N \to S$ es suave iff su composición con $S \hookrightarrow M$ es suave. Un suave estructura en $S$ es claramente único. Para tener una mejor idea de esta propiedad estoy pidiendo por el siguiente:

Hay un ejemplo de un subconjunto $S$ de lisa colector $M$ que admite un único suave estructura de decisiones de la inclusión $S \hookrightarrow M$ una inmersión, pero que no es un débil incrustación?

Answer 1

Buena pregunta. He aquí un ejemplo.

Deje $S\subset\mathbb R^2$ ser la unión de la $x$-eje con el positivo de la mitad de la $y$-eje, con la suave estructura inducida por la inmersión $F\colon \mathbb R\times \{0,1\}\to \mathbb R^2$ dada por \begin{align*} F(x,0) &= (x,0),\\ F(x,1) &= (0,e^x). \end{align*} Es bastante sencillo ejercicio para demostrar que esto es la única topología y suave estructura de decisiones $S$ en un inmersos submanifold de $\mathbb R^2$.

Ahora considere el buen mapa de $\phi\colon \mathbb R\to \mathbb R^2$ dada por \begin{equation*} \phi(t) = \begin{cases} (e^{-1/t^2},0), & t>0,\\ (0,0), & t=0,\\ (0,e^ {-1/t^2}) & t<0. \end{casos} \end{ecuación*} Tenga en cuenta que el $x$-eje es un subconjunto abierto de $S$ en su submanifold de la topología. Pero la preimagen de la $x$-eje en$\phi$$[0,\infty)$, que no está abierto en el $\mathbb R$, lo $\phi$ no es continuo, como un mapa en $S$.