Usando Fourier Transform para resolver la ecuación de calor

Question

la ecuación del calor de $U(x,t)$ $-\infty<x<+\infty$ $t>0$ es $$U_t=U_{xx}+\exp\left({\frac{-x^2}{2}}\right)$$ donde $$U(x,t)\rightarrow 0 \quad as\quad x\rightarrow\pm\infty$$ y la condición inicial es $$U(x,0)=0$$

Eso es lo que he intentado... yo no estoy seguro si es correcto, pero el uso de la cos transformar para resolver esta ecuación

por en primer lugar, vamos $$u(s,t)=\int_{0}^{+\infty}{U(x,t)\cos(sx)}dx$$ luego, tomando la transformada de fourier cos transformación para ambos lados de la PDE $$u_t=\int_{0}^{+\infty}{U_{xx}\cos(sx)}dx+\int_{0}^{+\infty}{\exp\left({\frac{-x^2}{2}}\right)\cos(sx)}dx$$ $$u_t=[\cos(sx) U_x]_{0}^{+\infty} + s\int_{0}^{+\infty}{U_{x}\sin(sx)}dx +\sqrt{\frac{\pi}{2}}\exp\left({\frac{-x^2}{2}}\right)$$ $$u_t=[\cos(+\infty s)U_x(+\infty,s) - U_x(0,s)] + s\{[\sin(sx)U]_{0}^{+\infty}- s\int_{0}^{+\infty}{U\cos(sx)}dx\} +\sqrt{\frac{\pi}{2}}\exp\left({\frac{-x^2}{2}}\right)$$ por appling la properities y condiciones, tengo $$u_t=[0 - 0] + s\{0- su\} +\sqrt{\frac{\pi}{2}}\exp\left({\frac{-s^2}{2}}\right)$$ finalmente, obtener el $1^st$ el fin de la educación a distancia $$u_t + s^2 u = \sqrt{\frac{\pi}{2}}\exp\left({\frac{-s^2}{2}}\right)$$

Hasta aquí, yo pienso que debería haber algunos errores en los procesos... pero no puedo encontrar..o mi acercando está en un mal método...?

Answer 1

¿Por qué se restringe a$x \in (0,\infty)$ cuando el dominio es para toda la línea real? En este caso, parece más fácil ir con las transformadas de Fourier, es decir,

ps

Entonces el PDE se convierte

$$u(s,t) = \int_{-\infty}^{\infty} dx \, U(x,t) \, e^{i s x}$ $$$u_t + s^2 u = \sqrt{2 \pi} \, e^{-s^2/2} = e^{-s^2 t}\frac{d}{dt}\left [e^{s^2 t} u \right ]$ $

ps

Ahora inverso FT ... use el hecho de que

ps

y obten

ps