Raíces de la ciclotómicas polinomio

Question

Que $\Phi_p$ ser un polinomio ciclotómicas y $q,p$ primos diferentes. Sé que tiene cuántas raíces $\Phi_p$ $\mathbb{Z}/q\mathbb{Z}[X]$ y que estas raíces son simples. Ahora me puedo levantar estas raíces a las raíces en $\mathbb{Z}_q[X]$ según Hensel.

¿Es posible averiguar si hay más raíces de $\Phi_p$ $\mathbb{Z}_q[X]$?

Answer 1

Hay dos casos. En el caso de $p|(q-1)$, el grupo multiplicativo de a $\mathbb F_q$, cíclico de orden $q-1$, tiene un subgrupo de orden $p$, cuyos elementos son las raíces de $\Phi_p$, ya que estos son los primitivos $p$-th raíces de la unidad. En este caso, todas las raíces de $\Phi_p$$\mathbb F_q$, y se eleva a $\mathbb Z_q$ $p-1$ distintos elementos de la $q$-ádico enteros. Son todas las raíces de $\Phi_p$. No puede ser la de los demás, en $\mathbb Q_q$ o a cualquier otro integrante de dominio que contengan $\mathbb Z_q$.

El otro caso es que el $p$ no divide $q-1$, en cuyo caso ni $\mathbb F_q$ ni $\mathbb Z_q$ ha primitivo $p$-th raíces de la unidad. Este puede ser el caso que fue confuso James. Aquí, $\Phi_p$ tiene sus raíces en una adecuada extensión de $\mathbb F_q$ @Jyrki comentarios, y estos ascensor a la correspondiente unramified la correcta extensión de $\mathbb Z_q$, pero no a $\mathbb Z_q$ sí.

Así, en ambos casos, hay muchos de los primitivos $p$-th raíces de la unidad en la $\mathbb Z_q$$\mathbb F_q$.