¿Un ' obvio ' propiedad de enteros algebraicos?

Question

Estoy buscando en el libro Una Breve Guía a la Teoría Algebraica de números por H. P. F. Swinnerton-Dyer. Me gusta la sección de la página 1 "el anillo de los números enteros", ya que da una motivación para la elección de los elementos que nos gustaría considerar como enteros y cómo llegar a la definición en términos de monic polinomios.

Él enumera el "obvio" propiedades de las que uno quisiera que los enteros ${\frak{o}}_k$ de una expresión algebraica campo de número de $k$ tener. De la propiedad número 3 es:

${\bf{3.}} \ {\frak{o}}_{k} \otimes_{\mathbb{Z}} \mathbb{Q}= k $.

Yo no he venido a través de este producto tensor de la notación antes, pero tengo la sensación de que esta declaración está relacionada con el requisito de que el campo de $k$ debe ser el campo de fracciones de ${\frak{o}}_k$. Es este el caso, y si es así ¿cómo puede la instrucción 3 ser "traducida" a este requisito? De verdad es tan obvia como él dice? ¿Por qué cree usted que él ha elegido para el estado en este camino?

Un enlace al libro.

Answer 1

Esencialmente, esto significa que se puede escribir cada elemento de $k$ $\frac{\alpha}{n}$ donde $\alpha\in\mathcal{O}_k$ y $0\neq n\in\mathbb Z$. Esto es más fuerte que el campo de la propiedad de fracciones que has dado.

Answer 2

El % de producto del tensor ${\frak o}_k\otimes_{\mathbb Z}\mathbb Q$no es necesariamente el anillo de fracciones - o al menos no por esta formulación. Por el contrario es simplemente (al ver el ${\frak o}_k$ y $\mathbb Q$ como subconjuntos de $k$) el conjunto de racionales combinaciones lineales de elementos de ${\frak o}_k$. En otras palabras, la propiedad evidente es que ${\frak o}_k$ debe abarcar la $\mathbb Q$-vector espacio $k$.

Answer 3

Permítanme responder a esto, ya que también ha confundido a mí en el pasado.

Lo que el producto tensor con $\mathbb{Q}$ está haciendo que generalmente se llama una extensión de escalares. Usted sabe que el anillo de enteros es inicialmente un $\mathbb{Z}$-módulo de rango $n$ donde $n = [k:\mathbb{Q}]$. Así que en realidad se puede escribir

$$ \mathfrak{o}_k = \alpha_1\mathbb{Z} + \cdots + \alpha_n\mathbb{Z} $$

para algunos enteros algebraicos $\alpha_1, \dots, \alpha_n \in \mathfrak{o}_k$. Entonces, cuando usted tensor con $\mathbb{Q}$ que son, básicamente, hacer que $\mathbb{Z}$-módulo en un $n$-dimensional espacio vectorial sobre $\mathbb{Q}$, es decir, de obtener

\begin{align} \mathfrak{o}_k \otimes_\mathbb{Z} \mathbb{Q} &= (\alpha_1\mathbb{Z} + \cdots + \alpha_n\mathbb{Z})\otimes_\mathbb{Z} \mathbb{Q}\\ &\cong \alpha_1\mathbb{Z} \otimes_\mathbb{Z} \mathbb{Q} + \cdots + \alpha_n\mathbb{Z} \otimes_\mathbb{Z} \mathbb{Q}\\ &\cong \alpha_1 \mathbb{Q} + \cdots + \alpha_n \mathbb{Q}\\ &= k \end{align}

donde he utilizado el hecho de que el tensor de productos conmuta con directa sumas y también que si $M$ $R$- módulo, a continuación,$R \otimes_{R} M \cong M$.

Answer 4

Ver http://en.wikipedia.org/wiki/Tensor_product_of_modules para información sobre el producto tensor. Como Thomas Andrews' respuesta implica, diciendo: ${\frak{o}}_{k} \otimes_{\mathbb{Z}} \mathbb{Q}= k$ es sólo una forma elegante de decir que para cualquier $x$$k$, hay un $c \in \mathbb{N}_{{>}0}$ tal que $cx \in {\frak o}_k$. Me imagino que el autor espera que el lector sepa de esto y ha expresado de esta manera por razones de concisión.

En cuanto a la segunda pregunta: no es obvio para mí que uno esperaría ${\frak o}_k$ tener esta propiedad al decidir cómo definirlo. Pero es una bonita propiedad, y no es un argumento fácil de que la definición en términos de monic polinomios de entrega: si $x$ es una raíz de un polinomio $f$ con coeficientes enteros y líder coeficiente de $c$ $cx$ es la raíz de un monic polinomio con coeficientes enteros (como se puede ver por el desarrollo de $(cx)^n = (cx)^n - c^nf(x)$ como un polinomio de grado $n-1$ $cx$ donde $n$ es el grado de $f$).

Answer 5

Una propiedad que nos gustaría tener es que el anillo de enteros $\mathcal{O}_K$ de una expresión algebraica campo de número de $K$ grado $n$ es un servicio gratuito de $\mathbb{Z}$-módulo de rango $n$. A continuación, podemos elegir un integrante de base $x_1,\ldots ,x_n$, que es un $\mathbb{Q}$-base de $K$. En otras palabras, $\mathcal{O}_K\otimes_{\mathbb{Z}}\mathbb{Q}=K$. Generalmente se define el anillo de enteros por elementos integrales con un monic polinomio, y por encima de la propiedad es un caso especial de la siguiente resultado: si $A$ es integralmente cerrado de dominio con el cociente de campo $K$, e $L$ un separables de extensión de campo de $K$, e $B$ integral de cierre de $A$$L$, $B$ es un servicio gratuito de $A$-módulo, siempre $A$ es un PID. En nuestro caso, $A=\mathbb{Z}$ es un PID, de ahí el resultado.