Después de leer un poco sobre los números p-ádicos, se me ocurrió una idea.
Sabemos que para cada número natural $k$ existe un número natural $n$ de modo que para cada $m>n$ hay al menos $k$ dígitos cero al final de $m!$ . Así que podemos determinar $k$ últimos dígitos de $1!+2!+3!+...n!$ .
Por ejemplo $1!+2!+3!+4!=33$ et $5!=120$ que tiene $1$ cero al final. Así que el último dígito se fija con el número $3$ para $n>4$ .
Del mismo modo, $1!+2!+3!+4!+5!+6!+7!+8!+9!=404073$ et $10!=3628800$ . Así, para $n>9$ los dos últimos dígitos se fijarían en $73$ .
Así que mi pregunta es: Si continuamos con este patrón, ¿seremos capaces de encontrar tantos últimos dígitos de $A=1!+2!+3!+...$ como queremos? ¿Será esto suficiente para decir $A$ es un $10-\text{adic} $ ¿número?
Para evitar malentendidos, yo definiría el último $n$ dígitos del número como primer $n$ dígitos, contando desde la derecha. Por ejemplo, el último dígito de $...373737$ es $7$ .
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
Bien, intentemos dar un sentido riguroso a esta pregunta:
Primero hay que definir qué se entiende por número 10-ádico (¡el 10 no es primo!). Lo más sensato sería, en este contexto, $R = \varprojlim \mathbb{Z}/10^n\mathbb{Z}$ con los mapas obvios. $R$ es profinita y tiene una topología natural; incluso es un anillo topológico. Una base de vecindad abierta de $0$ viene dada por las imágenes de los ideales $(10^k)$ en $R$ .
Ahora tienes una serie infinita $\sum_{k \geq 0} k!$ y quieres demostrar que converge en $R$ . Sea $S_N = \sum_{k=0}^N k!$ sea la suma parcial. Definir $z_n = [S_{10^n}] \in \mathbb{Z}/10^n\mathbb{Z}$ .
Como ha observado el $z_n$ son compatibles en el sentido de que $z_{n+1}$ se asigna a $z_n$ cuando proyectes: todo lo que añadas después será múltiplo de $10^n$ . Por lo tanto, definen un elemento $z \in R$ . Entonces para cada $k$ existe $n_0 = 10^k$ tal que $\forall n \geq n_0$ , $S_n - z$ está en la vecindad $(10^k)$ de $0$ en $R$ . Así que $S_N$ converge a $z$ .
