Números que pueden expresarse como la suma de dos cubos exactamente de dos maneras diferentes

Question

Parece ser que se sabe que hay infinitos números que se pueden expresar como suma de dos cubos positivos de al menos dos formas diferentes (según la respuesta a este post: Teoría del número Número de taxis ).

Sabemos que

$$1729 = 10^3+9^3 = 12^3 + 1^3,$$

y me pregunto si hay infinitos números como éste que puedan expresarse como la suma de dos cubos positivos en exactamente ¿en dos sentidos?

De hecho, ¿hay alguna otra cifra de este tipo?

EDITAR: Tal y como ha proporcionado MJD en la sección de comentarios, aquí hay otros ejemplos: $$4104 = 2^3+16^3 = 9^3+15^3,$$ $$13832 = 20^3+18^3=24^3+2^3,$$ $$20683 = 10^3 +27^3 = 19^3 +24^3.$$

Answer 1

En el documento Caracterización de la suma de dos cubos Kevin Broughan da el teorema pertinente,

Teorema: Dejemos que $N$ sea un número entero positivo. Entonces la ecuación $N = x^3 + y^3$ tiene una solución en números enteros positivos $x,y$ si y sólo si se cumplen las siguientes condiciones:

1. Existe un divisor $m|N$ con $N^{1/3}\leq m \leq (4N)^{1/3}.$

2. Y $\sqrt{m^2-4\frac{m^2-N/m}{3}}$ es un número entero.

La secuencia de enteros $F(n)$ ,

$$\begin{aligned} F(n) &= a^3+b^3 = (2 n + 6 n^2 + 6 n^3 + n^4)^3 + (n + 3 n^2 + 3 n^3 + 2 n^4)^3\\ &= c^3+d^3 = (1 + 4 n + 6 n^2 + 5 n^3 + 2 n^4)^3 + (-1 - 4 n - 6 n^2 - 2 n^3 + n^4)^3 \end{aligned}$$

para los enteros $n>3$ aparentemente es expresable como una suma de dos positivo cubos enteros en exactamente y sólo de dos maneras.

$$\begin{aligned} F(4) &= 744^3+756^3 = 945^3+15^3\\ F(5) &= 1535^3+1705^3 = 2046^3+204^3\\ &\;\vdots\\ F(60) &=14277720^3+26578860^3 = 27021841^3+12506159^3 \end{aligned}$$

Usando el teorema de Broughan, he probado $F(n)$ de $n=4-60$ y, por $n$ sólo tiene dos soluciones $m$ , lo que implica que en ese rango es una suma de dos cubos de sólo dos maneras. ¿Puede alguien con un ordenador más rápido y mejor código probarlo para un rango superior y ver cuándo (si es que lo hace) se rompe la afirmación propuesta? Por cierto, tenemos las bonitas relaciones,

$$a+b = 3n(n+1)^3$$

$$c+d = 3n^3(n+1)$$

Nota : $F(60)$ ya es mucho más allá del alcance de taxi $T_3$ que es el menor número que es la suma de dos cubos enteros positivos en tres formas.

$$T_3 \approx 444.01^3 = 167^3+436^3 = 228^3+423^3 = 255^3+414^3$$

(Utilizando el teorema, se obtienen 3 valores para $m$ .)

Answer 2

En cuanto a la pregunta de si existen o no infinitos números que puedan expresarse como la suma de dos cubos de dos formas diferentes, hay una forma muy rápida y sencilla de demostrarlo. Ya que tienes $$ 1729 = 10^3 + 9^3 = 12^3 + 1^3 $$ Multiplica ambos lados por $ n^3 $ donde $ n $ es un número entero positivo para obtener $$ 1729 n^3 = (10n)^3 + (9n)^3 = (12n)^3 + n^3 $$ y ahí lo tienes, introduce cualquier valor de $ n $ y ya tienes tu prueba de la infinitud de tales números. Obviamente esto no incluye todas las soluciones, pero demuestra que ciertamente hay un número infinito de ellas

Answer 3

Hace poco encontré un número que se puede expresar como una suma de dos cubos exactamente de dos maneras diferentes.

  65673928=164³+394³=103³+401³