Prueba de la integral compleja

Question

$f(z)$ es analítica en el círculo unitario, y $u=\mathrm{Re}(f), v=\mathrm{Im}(f)$ .

Por favor, demuestre que si $u(0)=v(0)$ entonces $\int_0^{2\pi}(u(re^{i\theta}))^2d\theta=\int_0^{2\pi}(v(re^{i\theta}))^2d\theta$ por cada $0<r<1$ .

Answer 1

Desde $f^2$ es analítica, su parte real $Re\:f^2=u^2-v^2$ es armónico.

En particular, $Re\: f$ tiene la propiedad del valor medio en $0$ . Esto da como resultado, para cada $0<r<1$ : $Re\:f(0)=\frac{1}{2\pi} \int_0^{2\pi} Re\:f(re^{i\theta})d\theta$ .

Ahora bien, como $Re\:f(0)=u^2(0)-v^2(0)=0$ Esto implica $\int_0^{2\pi} (u^2(re^{i\theta})-v^2(re^{i\theta}))d\theta=0$ . Y el resultado es el siguiente.

P.D.: Para el enunciado y la demostración de la propiedad del valor medio de las funciones armónicas, véase el teorema 4 aquí, por ejemplo: http://www.maths.qmul.ac.uk/~boris/potencial_th_notes.pdf

Answer 2

Respuesta a la pregunta original:

Si $f(z) = 1$ entonces $\int_0^{2\pi}(u(re^{i\theta}))^2d\theta=2 \pi$ , $\int_0^{2\pi}(v(re^{i\theta}))^2d\theta = 0$ así que no puede ser cierto.

Respuesta a la pregunta actualizada:

Dejemos que $g(z) = f(z)-f(0)$ . La serie de potencias para $g$ muestra que $\eta(z) = \frac{g(z)}{z}$ y $\phi(z) = \frac{g^2(z)}{z}$ tienen una singularidad extraíble en $z=0$ y, por lo tanto, se puede considerar que es analítica en $B(0,1)$ .

Dejar $\gamma(\theta) = r e^{i\theta}$ con $r\in (0,1)$ tenemos $\int_\gamma \eta = 0$ y $\int_\gamma \phi = 0$ .

Desde $\int_\gamma \frac{h(z)}{z} d z = 0$ equivale a $\int_0^{2 \pi} h(re^{i \theta}) d \theta = 0$ tenemos $\int_0^{2 \pi} g(re^{i \theta}) d \theta = 0$ y $\int_0^{2 \pi} g^2(re^{i \theta}) d \theta = 0$ .

La ampliación de estos da $\int_0^{2 \pi} f(re^{i \theta}) d \theta = 2 \pi f(0)$ y $\int_0^{2 \pi} f^2(re^{i \theta}) d \theta = \int_0^{2 \pi} (g^2(re^{i \theta}) +f(0)g(re^{i \theta}) + f^2(0)) d \theta =2\pi f^2(0)$ . Desde $u(0) = v(0)$ vemos que $2\pi f^2(0) = -4 \pi i u^2(0)$ que es puramente imaginario, y por lo tanto $\text{Re} (\int_0^{2 \pi} f^2(re^{i \theta}) d \theta) = 0$ .

Desde $\text{Re}(f^2(r e^{i\theta})) = u^2(r e^{i\theta})-v^2(r e^{i\theta})$ concluimos que $\int_0^{2 \pi} u^2(r e^{i\theta}) d \theta = \int_0^{2 \pi} v^2(r e^{i\theta}) d \theta$ .