Lo que dice el título. Deje que $C_2$ sea el grupo cíclico de orden 2, y $X$ sea un espacio topológico con un $C_2$ -(que actúa de forma continua) tal que tanto el espacio cociente $X/{C_2}$ y el subespacio de puntos fijos $X^{C_2}$ son contractibles. ¿Esa fuerza $X$ contraerse?
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
Adam Malter
Puntos
96
He aquí un contraejemplo, aunque puede que no sea muy interesante para usted porque el espacio implicado no es Hausdorff. Sea $X=\{a,b,c,d,e\}$ con topología generada por los conjuntos $\{a\}$ , $\{b\}$ , $\{c\}$ , $\{d,a,b,c\}$ y $\{e,a,b,c\}$ . Defina $\sigma:X\to X$ por $\sigma(a)=b$ , $\sigma(b)=a$ , $\sigma(c)=c$ , $\sigma(d)=e$ y $\sigma(e)=d$ . Entonces $\sigma$ es un homeomorfismo y da una acción de $C_2$ en $X$ . Los puntos fijos y el cociente son contractibles (los puntos fijos son simplemente $\{c\}$ y el cociente tiene un punto $[d]$ que está en el cierre de cada punto), pero $X$ no es contractible (de hecho, tiene el tipo de homotopía débil de $S^1\vee S^1$ ).
0 votos
¿Desea una acción continua?
0 votos
@Nitrogen Sí, una acción continua.
0 votos
¿Qué es el $C_2$ ? ¿Es $\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$ ?
0 votos
No estoy del todo seguro, pero un contraejemplo podría ser $S^1$ pegado con dos líneas $(0,1)\to (2,0)$ y $(0,-1)\to (2,0)$ con la acción antipodal sobre $S^1$ y la reflexión sobre el $x$ -para las dos líneas. Entonces el único punto fijo es $(-1,0)$ y creo que el espacio cociente es contractible.
1 votos
@Nitrogen ¿No es el espacio cociente en este caso un círculo pegado con un segmento? Es decir, no es contractible.