Transformación conforme

Question

Favor de ayudarme a encontrar un mapa de conformación del conjunto $ A = \left \{\; z: \; |z-1| < \sqrt{2} \; and \; |z+1| < \sqrt{2} \; \right \}$ uno-a-uno en el open primer cuadrante.

En primer lugar, me di cuenta de que los círculos se reúnen en un ángulo recto en$i$$-i$. Así que sé que uno de estos es necesario asignar a la de origen. Pero no tenía idea de qué hacer a continuación, así que he intentado cambiando cada círculo para que pudieran estar centrada en el origen, a continuación, se asigna un círculo a la mitad superior del plano y el otro a la mitad derecha del plano, cada uno con una función inversa de Cayley de Transformación.

Para el círculo de izquierda que tengo:

$$-i\frac{z+2}{z},$$

y para el círculo de la derecha que tengo:

$$-\frac{z}{z-2}$$

Entonces pensé para mí, "Genial. Ahora tengo dos funciones...¿cómo voy a combinarlos?" Me alcanzó su punto máximo en la parte de atrás del libro y se tiene:

$$f(z)=e^{-\frac{3xi}{4}}\left ( \frac{z-i}{z+i} \right )$$

Estoy bastante seguro de que la "x" es un error tipográfico. Creo que quiso decir "$\pi$" en su lugar. Después de ver la respuesta, he perdido la esperanza en mi estrategia. Hay una buena probabilidad de que hay algo muy importante que no entiendo. Por favor, ilumíname. :(

Answer 1

Como dices, los círculos se reúnen en perpendicular al $i$ y $-i$. También sabe usted que uno de ellos tiene que asignarse a $0$. La clave está ahora en el otro mapa $\infty$. Los círculos se asignan entonces a líneas rectas que se unen en ángulo recto con respecto al $0$. La función más sencilla que haciendo esto es $ \frac{z+i}{z-i},\quad-i\to0, \quad i\to\infty. $$ Finalmente, hacer una rotación para el primer cuadrante.